Натуральными называются числа, употребляемые при счете предметов: 1, 2, 3,...
Сумма и произведение натуральных чисел — число натуральное, разность и частное — не обязательно.
Пусть \( a \) и \( b \) — натуральные числа.
Число \( a \) можно всегда представить в виде
\( a = b \cdot c + r \), где число \(0 \ge r \ge b\).
Число \( r \) называется остатком от деления \( a \) на \( b \).
Если \(r \gt 0\), то \( с \) называется неполным частным,
а нахождение неполного частного и остатка — делением \( a \) на \( b \) с остатком.
Пример:
Нужно 31 разделить на 7 с остатком:
\( 31 = 7 \cdot 4 + 3 \) или \( 31 / 7 = 4 \) (3 в ост.)
Если же остаток равен нулю, равенство принимает вид: \( a = b \cdot c \).
В этом случае \( с \) называют частным и говорят, что \( a \) делится на \( b \) (без остатка или нацело).
Натуральные числа, на которые делится данное число, называются его делителями.
Натуральные числа, которые делятся на данное натуральное число, называются его кратными.
Понятие о необходимых и достаточных условиях
Если из утверждения А следует утверждение В ( \( А \Rightarrow В \) ),
то утверждение А называется достаточным условием для утверждения В,
а утверждение В необходимым условием для утверждения А.
Пример:
если \(a = 0 \), то \(a \cdot b = 0\)
A B
A — достаточное условие для В,
но не необходимое ( может ведь и \( b = 0 \) ).
В — необходимое условие для А,
но не достаточное, т.к. из того что \( a \cdot b = 0 \) не следует, что \( a = 0 \).
Необходимые и достаточные условия часто называют признаками или критериями.
Синонимами слов «необходимые и достаточные условия» являются обороты
«тогда и только тогда»,
«если и только если»,
«те и только те».
Признаки делимости
Признаки делимости позволяют, не производя непосредственно деления, определить кратно ли данное натуральное число некоторым числам.
- Признак делимости на 10: На 10 делятся все те и только те числа, которые оканчиваются нулями.
- Признак делимости на 2: делятся все те и только те числа, запись которых оканчивается четной цифрой.
- Признак делимости на 5: делятся все те и только те числа, запись которых оканчивается на пять или нуль.
- Признак делимости на 3 и 9: делятся все те и только те числа, у которых сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9.
- Признак делимости на 4: делятся все те и только те числа, две последние цифры которых представляют число, делящееся на 4.
Более подробно о признаках делимости.
Натуральное число называется простым, если оно не имеет других делителей, кроме себя и единицы.
Натуральное число, имеющее более двух делителей, называется составным.
Единицу не относят ни к простым, ни к составным числам.
Любое натуральное число можно разложить на простые множители, т.е. представить в виде произведения простых чисел.
Пример:
\( 60 = 6 \cdot 10 = (2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \)
Можно это делать по схеме, подбирая для каждого следующего частного наименьший простой делитель, пока само частное не станет простым.
Наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК)
Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких натуральных чисел — это наибольший из общих делителей этих чисел.
Если НОД двух чисел равен единице (т.е. у них нет других общих делителей), то эти числа называются взаимно простыми.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких натуральных чисел — это наименьшее из чисел, которые делятся на каждое из данных.
Находить НОД и НОК можно, пользуясь следующими алгоритмами:
| НОД \( (a, b) \) | НОК \( (a, b) \) |
| 1. Разложить числа \( a \) и \( b \) на простые множетели; | |
| 2. Выбрать все общие простые множетели в полученных разложениях; | 2. Дополнить разложение одного числа недостающими множителями из второго разложения; |
| 3. Перемножить их. | 3. Перемножить полученные множители. |
Пример:
Найти НОД и НОК (588, 840)
-
Разложение на простые множители чисел:
\( 588 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7 \)
\( 840 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \) - \( НОД (588, 840) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 = 84 \)
- \( НОК (588, 840) = (2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7) \cdot 2 \cdot 5 = 5880 \)