Содержание
- §10.1. Квадратные уравнения. Формула корней квадратного уравнения
- §10.2. Теорема Виета
- §10.3. Многочлен с одной переменной. Квадратный трёхчлен
- §10.4. Рациональные уравнения
Равенство, содержащее переменные, называется уравнением.
Корнем уравнения с одной переменной называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать что оно корней не имеет.
В последнем случае говорят, что решение — пустое множество.
Равносильными называют уравнения, имеющие одно и то же множество решений или не имеющие решений.
Чтобы при решении уравнения не приобрести лишние корни и не потерять корни, необходимо на каждом этапе решения заменять уравнение равносильным ему уравнением.
Теоремы о равносильных уравнениях
- К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.
Следствия:- Одинаковые члены в обеих частях уравнения можно опустить.
- Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив его знак на противоположный.
- Обе части уравнения можно умножить или разделить на любое выражение, имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.
Следствия:- Знаки всех членов можно изменить на противоположные.
- Уравнения, в которых коэффициенты всех или некоторых членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами.
Линейное уравнение с одной переменной
Линейное уравнение или уравнение первой степени с одной переменной — это уравнение вида \( ax = b \), где a и b — некоторые числа.
При решении линейных уравнений возможны различные случаи:
- Если \( a \neq 0 \), уравнение имеет единственный корень \( x = \frac{b}{a} \).
- Если \( a = 0 \) и \( b = 0 \), то уравнение примет вид \( 0 \cdot x = 0 \).
Его корнем является любое число, другими словами, множеством решений является множество действительных чисел ( \( R \) ). - Если \( a = 0 \) и \(b \neq 0 \), то уравнение примет вид \( 0 \cdot x = b \).
Такое уравнение корней не имеет.