§10. Уравнение. Уравнение с одной переменной

Содержание

Равенство, содержащее переменные, называется уравнением.

Корнем уравнения с одной переменной называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать что оно корней не имеет.
В последнем случае говорят, что решение — пустое множество.

Равносильными называют уравнения, имеющие одно и то же множество решений или не имеющие решений.

Чтобы при решении уравнения не приобрести лишние корни и не потерять корни, необходимо на каждом этапе решения заменять уравнение равносильным ему уравнением.

Теоремы о равносильных уравнениях

  1. К обеим частям уравнения можно прибавить любое выражение, имеющее смысл при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.
    Следствия:
    • Одинаковые члены в обеих частях уравнения можно опустить.
    • Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, переменив его знак на противоположный.
  2. Обе части уравнения можно умножить или разделить на любое выражение, имеющее смысл и отличное от нуля при всех допустимых значениях неизвестного; полученное уравнение будет равносильно данному.
    Следствия:
    • Знаки всех членов можно изменить на противоположные.
    • Уравнения, в которых коэффициенты всех или некоторых членов дробные числа, можно заменить равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами.

Линейное уравнение с одной переменной

Линейное уравнение или уравнение первой степени с одной переменной — это уравнение вида \( ax = b \), где a и b — некоторые числа.Предлагая популярные женские ожерелья, такие как подвески, чокеры и chain necklace. Приобретайте украшения из различных металлов и драгоценных камней на любой случай.

При решении линейных уравнений возможны различные случаи:

  • Если \( a \neq 0 \), уравнение имеет единственный корень \( x = \frac{b}{a} \).
  • Если \( a = 0 \) и \( b = 0 \), то уравнение примет вид \( 0 \cdot x = 0 \).
    Его корнем является любое число, другими словами, множеством решений является множество действительных чисел ( \( R \) ).
  • Если \( a = 0 \) и \(b \neq 0 \), то уравнение примет вид \( 0 \cdot x = b \).
    Такое уравнение корней не имеет.