Приведённым называется квадратное уравнение со старшим коэффициентом \( a = 1 \),
т.е. уравнение вида \( x^2 + px + q = 0 \).
ТЕОРЕМА 1:
Сумма корней приведённого квадратного уравнения
равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком,
а произведение корней равно свободному члену, т.е.
$$ x_1 + x_2 = -p; \;\;\; x_1 \cdot x_2 = q $$
Доказательство:
Рассмотрим приведённое квадратное уравнение:
$$ x^2 + px + q = 0 $$
При \( D \gt 0 \) корни этого уравнения равны:
$$ x_1 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} \;\; и \;\; x_2 = \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} $$
Найдём сумму и поризведение:
$$ x_1 + x_2 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} + \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = \frac{-2p}{2} = -p;$$
$$ x_1 \cdot x_2 = \frac{-p + \sqrt{p^2 - 4q}}{2} \cdot \frac{-p - \sqrt{p^2 - 4q}}{2} = $$
$$ = \frac{(-p)^2 - (\sqrt{p^2 - 4q})^2}{4} = \frac{p^2 - (p^2 - 4q)}{4} = q $$
ч.т.д.
Пример:
В уравнении \(x^2 - 7x + 12 = 0 \) имеем : \( x_1 + x_2 = 7, \;\; x_1 \cdot x_2 = 12 \).
Подбираем корни: \( x_1 = 3, \;\; x_2 = 4 \)
Неприведённое квадратное уравнение можно заменить равносильным ему приведённым:
$$ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 $$
Тогда по теореме Виета:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} ;\;\; x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$
Верно и обратное теореме Виета утверждение:
ТЕОРЕМА 2:
Если сумма двух чисел равна \( -p \), произведение этих же чисел \( q \), то эти числа являются корнями квадратного уравнения
$$ x^2 + px + q = 0 $$
Доказательство:
Пусть числа \( x_1 \) и \( x_2 \), таковы, что \( x_1 + x_2 = -p ;\;\; x_1 \cdot x_2 = q.\)
Подставим эти выражения в уравнение \( x^2 + px + q = 0 \) и получим:
$$ x^2 - (x_1 + x_2) \cdot x + x_1 \cdot x_2 = 0 $$
Проверим тепрь непосредственной подстановкой, являются ли числа \( x_1 \) и \( x_2 \), корнями полученного уравнения:
$$ x_{1}^{2} - (x_1 + x_2) \cdot x_1 + x_1 \cdot x_2 = x_{1}^{2} - x_{1}^{2} - x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2 = 0 $$
Аналогично убеждаемся, что и число \( x_2 \) является корнем этого уравнения.
Пример:
Составить уравнение, корнями которого являются числа \( -2 \) и \( 2,5 \).
Согласно теореме 2 имеем: \( -2 + 2,5 = 0,5 \) и \( -2 \cdot 2,5 = -5 \).
Т.е. в уравнении, которое мы должны составить \( p = -0,5\) и \( q = -5 \), а значит, уравнение примет вид:
$$ x^2 - 0,5x - 5 = 0 \;\; или \;\; 2x^2 - x - 10 = 0 $$