Корнем многочлена с одной переменной называется значение переменной, при которой значение многочлена обращается в нуль.
Т.е. корнем многочлена \( P(x) \) является корень уравнения \( P(x) = 0 \).
Примером многочлена с одной переменной является квадратный трехчлен.
Квадратным трехчленом называется многочлен вида \( ax^2 + bx + c \), где \( a, b, c \) — некоторые числа.
Корнями квадратного трехчлена \( ax^2 + bx + c \) являются корни квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \).
Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
ТЕОРЕМА 2:
Если \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни квадратного трехчлена \( ax^2 + bx + c \), то
$$ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)\cdot(x - x_2) $$
Доказательство:
Преобразуем квадратный техчлен, учитывая, что по теореме Виета:
$$ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}; \;\; x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} $$
$$ ax^2 + bx + c = a(x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2)= $$
$$ = a(x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2) = a(x(x - x_1) - x_2(x - x_1)) = $$
$$ = a(x - x_1)(x - x_2) $$
ч.т.д.
Пример:
\( 3x^2 + 5x + 2 = 3(x + 1)(x + \frac{2}{3}) = (x + 1)(3x + 2) \), где корни квадратного трёхчлена: \(x_1 = -1, \;\; x_2 = -\frac{2}{3} \).
Эта теорема дает способ разложения квадратного трехчлена на линейные множители в случае, когда существует два вещественных корня, т.е. \( D \gt 0 \).
Если \( D = 0 \), т.е. \( x_1 = x_2 \), разложение имеет вид:
$$ ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2, $$
т.е. такой трехчлен можно представить в виде полного квадрата суммы или разности, умноженного на старший коэффициент.
Пример:
\( 16x^2 - 24x + 9 = 16(x - 0.75)^2 = 4^2(x - 0.75)^2 = (4x - 3)^2 \)
(корень данного квадратного трехчлена равен \( 0,75 \))
В данном случае можно было и не прибегать к формуле разложения квадратного тёхчлена на множетели,
если заметить, что он представляет собой полный квадрат двучлена (в данном случае квадрат разности) и тогда
$$ 16x^2 - 24x + 9 = (4x - 3)^2,$$
что конечно рациональнее.
Наконец, если вещественных корней у трехчлена нет, т.е. \( D \lt 0 \),
то его нельзя разложить на линейные множители на множестве вещественных чисел ( \( R \) ).