§14. Системы уравнений и неравенств

Системы уравнений

Системой уравнений называют совокупность уравнений с одной и более переменными, для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя переменными.

Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Решить систему уравнений — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.
Все решения системы составляют множество решений системы.

Равносильными (эквивалентными) называют системы уравнений, имеющие одно и тоже множество рашений или не имеющие решений.

Если одно из уравнений системы заменить суммой двух уравнений, то полученная система будет равносильна исходной.
На этом основан метод сложения. Сохраняется равносильность системы и при использовании метода подстановки.

Пример

$$ \begin{cases} 2x+y=7\\ xy=6 \end{cases} $$

Решение

Из первого уравнения получаем \(y=7-2x\).
Подставляя значение \( y \) во второе уравнение, получаем систему уравнений:
$$ \begin{cases} y=7-2x\\ 7x-2x^2=6 \end{cases}$$

Решаем квадратное уравнение:
$$ -2x^2+7x-6=0\\ 2x^2-7x+6=0\\ D=49-4\cdot 2\cdot 6=49 - 48 =1\\ x_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{1}}{2\cdot 2}\\ x_1=2; \;\; x_2=\frac{3}{2} $$

Получаем:
$$ \begin{cases} y=7-2x\\ x=2 \end{cases} \;\;\;\; и \;\;\;\; \begin{cases} y=7-2x\\ x=\frac{3}{2} \end{cases}\\
\begin{cases} y=3\\ x=2 \end{cases} \;\;\;\; и \;\;\;\; \begin{cases} y=4\\ x=\frac{3}{2} \end{cases} $$

Ответ: \( (2; 3) \;\; и \;\; (\frac{3}{2}; 4) \).

Системы неравенств

Решением системы неравенств с одной переменной называется значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему неравенств — значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Пример

Решить систему неравенств:
$$ \begin{cases} x^2 \leq 9 \\ x \gt 0 \end{cases} $$

Решение

Решаем первое неравенство \( x^2 \leq 9 \):
$$ x^2 - 9 \leq 0 \Rightarrow (x+3)(x-3) \leq 0 $$

Решение этого неравенства
(см. рисунок, решение квадратного неравенства, интервал где неравенство принимает отрицательные значения)
\( -3 \leq x \leq 3 \).

Изобразим на числовой множество чисел, удовлетворяющее второму неравенству:
см рисунок: \( x \gt 0\).

Т.о. множество чисел, удовлетворяющих и первому и второму неравенствам, заштриховано на числовой прямой.
Следовательно, оба неравенства верны при \( 0 \lt x \leq 3\).

Решение неравенства

Ответ: \(x \in (0; 3] \).