Натуральные числа, противоположные им отрицательные числа, т.е. -1, -2, -3 ... и нуль, образуют множество целых чисел
Рациональным (лат. ratio — отношение) называют число, которое можно представить в виде отношения двух целых чисел, причем знаменатель отличен от нуля:
$$ a = \frac{m}{n} \; ; \; n \neq 0 $$
Т.е. это целые и дробные числа, как положительные, так и отрицательные, включая и число нуль.
Основное свойство дроби
Величина дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число:
$$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} $$
Если в представлении рационального числа в виде дроби знаменатель равен 10, 100, 1000 и т.д., то такая дробь называется десятичной,
в случае, если знаменатель дроби отличен от числа, записанного единицей с нулями, дробь называется обыкновенной.
Основное свойство дроби применяется для действий с обыкновенными дробями.
(В этом разделе рассмотриваются только положительные обыкновенные дроби).
-
Сокращение дробей:
Это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число, не равное нулю.
-
Приведение дроби к новому знаменателю:
Умножая числитель и знаменатель дроби на одно и то же натуральное число, можно получить дробь, равную данной и имеющую нужный нам знаменатель, но только кратный знаменателю исходной дроби.
-
Приведение дробей к общему знаменателю:
В качестве общего знаменателя дробей выбирают НОК знаменателей данных дробей.
Приведением дробей к общему знаменателю пользуются при их сравнении и сложении (вычитании), используя правила сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. -
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями:
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой больше числитель.
Сложение и вычитание дробей
Знаменатели одинаковые
$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} \; ; \; \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b} $$
Знаменатели разные
$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d} \; ; \; \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - b \cdot c}{b \cdot d} $$
Умножение и деление дробей
$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \; ; \; \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $$
Числа, дающие в произведении единицу, называют взаимнообратными.
Пример:
$$ \frac{a}{b} \; и \; \frac{b}{a} \; ; \; \frac{2}{3} \; и \; \frac{3}{2} $$
Пропорции
Пропорцией называется равенство двух отношений:
$$ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \; или \; a \div b = c \div d, $$
где \( a \) и \( d \) — крайние члены пропорции,
\( b \) и \( c \) — средние члены пропорции.
Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.