Числовое выражение — это запись, содержащая числа, знаки, действий между ними, скобки.
Если выполнить указанные действия, соблюдая порядок действий, получится число, называемое значением выражения.
Если в выражение входит одна или несколько букв, то такую запись называют буквенным выражением, или выражением с переменной (переменными).
Значение выражения с переменными зависит от значений переменных.
Запись, в которой между двумя выражениями стоит знак равенства, называется равенством.
Числовое равенство может быть верным, если значения левой и правой частей совпадают,
и неверным, если значения левой и правой частей не совпадают
( \( (3 + 5) \cdot 6 = 3 + 5 \cdot 6 \) — неверное равенство ).
Два выражения с переменными называются тождественно равными, если они равны при любых допустимых значениях переменных.
Равенство между ними называется тождеством.
Примерами тождеств являются законы арифметичеческих действий, формулы (тождества) сокращенного умножения.
Замену выражения тождественно равным ему выражением называют тождественным преобразованием.
К простейшим тождественным преобразованиям относятся раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых.
Формулы сокращённого умножения
Квадрат суммы (разности)
$$ (a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2} $$
Куб суммы (разности)
$$ (a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3a^{2}b + 3ab^{2} \pm b^{3} $$
Квадрат разности
$$ a^{2} - b^{2} = (a + b)(a - b) $$
Сумма кубов
$$ a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2}) $$
Разность кубов
$$ a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2}) $$
Разность степеней
$$ a^{m} - b^{m} = (a - b)(a^{m - 1} + a^{m - 2}b + ... + ab^{m - 2} + b^{m - 1}) $$
Квадрат суммы трех слагаемых
$$ (a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} +2ab + 2ac + 2bc $$