§6. Степени и корни с натуральным показателем

Степенью числа \( а \) с натуральным показателем \( n \neq 1 \) называется произведение \( n \) сомножителей, каждый из которых равен \( а \): $$ 0^{n} = 0; \;\; a^{1} = a; \;\; a^{2} = a \cdot a; \;\;...\;\; a^{n} = a \cdot a \cdot a \cdot ...\cdot a, \; (n \; раз) $$

Число \( a \) называется основанием степерни, а число \( n \) — показателем степени.

В частности \( a^{2} \) — называется квадратом, \( a^{3} \) — кубом числа \( a \).

Степень положительного числа с положительным показателем всегда положительна.
Степень отрицательного числа положительна, если показатель степени — число четное, и отрицательна, если показатель степени — число нечетное: $$ если \; a = 0, \; то \; 0^{n} = 0; $$ $$ если \; a \gt 0, \; то \; a^{n} \gt 0; $$ $$ если \; a \lt 0, \; то \; a^{n} \lt 0 \; при\; n\; нечетном, \; и \; a^{n} \gt 0 \; при \; n \; четном. $$

Свойства степени с натуральным показателем

  1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, а основание остаётся прежним: $$ a^{n} \cdot a^{m} = a^{n + m} $$
  2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $$ a^{n} \div a^{m} = \frac{a^{n}}{a^{m}} = a^{n - m} $$
  3. \( n \)-ая степень произведения равна произведению \( n \)-ых степеней множителей: $$ (a \cdot b \cdot c)^{n} = a^{n} \cdot b^{n} \cdot c^{n} $$
  4. \( n \)-ая степень частного равна частному \( n \)-ых степеней: $$ \left( \frac{a}{b} \right)^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}} $$
  5. При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним: $$ (a^{n})^{m} = a^{nm} $$

Арифметический корень \( n \)-й степени

Корнем \( n \)-ой степени из числа \( a \) называют такое число, \( n \)-ая степень которого равна \( a \).
Здесь \( n \) — любое натуральное число.

Пример:
число \( 25 \) имеет два корня второй степени, т.к. \( 5^{2} = 25 \) и \( (-5)^{2} = 25 \).
Можно сказать, что корень \( n \)-ой степени из числа \( a \) — это корень (корни) уравнения \( x^{n} = a \)

Арифметическим корнем \( n \)-ой степени из неотрицательного числа \( a \) называется неотрицательное число, \( n \)-ая степень которого равна \( a \).
Символами \( \sqrt[n]{a} \) ( \( \sqrt{a} \) при \( n = 2 \) ) записывается только арифметический корень.

Примеры:
\( \sqrt[3]{27} = 3 \), \( \sqrt[5]{32} = 2 \), \( \sqrt{0} = 0 \), и т.д.

Решения же уравнения \( x^{2} = a \) имеют вид: \( x_1 = \sqrt{a} \) и \( x_2 = - \sqrt{a} \).

Свойства арифметического корня.

(Здесь \(a, b \geq 0 \), \( m, k, n \gt 0 \))
  1. Исходя из определения, \( (\sqrt[n]{a})^{n} = a \)
  2. \( \sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} \)
  3. \( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \)
  4. \( \sqrt[k]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[nk]{a} \)
  5. \( \sqrt[mn]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^k} \)
    (показатель корня и показатель подкоренного выражения можно делить на один и тот же общий множитель).