Степень с целым отрицательным показателем
Если \(a \neq 0 \) и \( n \) — натуральное число, то $$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$
Любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице:
$$ a^{0} = 1; \;\; a \neq 0 $$
Степень с дробным (или рациональным) показателем
Пусть \( a \) — положительное число, \( \frac{m}{n} \) — рациональное число, причем \( n \gt 0 \).
Тогда \( a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^{m}} \) — таков cмысл степени числа \( a \) с рациональным показателем.
Примеры:
$$ 0,2^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{0,2^{5}}; $$ $$ 12^{\frac{1}{2}} = \sqrt{12}; $$ $$ 7^{\frac{-2}{3}} = \sqrt[3]{7^{-2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{49}}; $$ $$ 2^{\frac{2}{5}} = \sqrt[5]{2^{2}} = \sqrt[5]{4} $$
Для основания, равного нулю, определяется степень только с положительным показателем: $$ 0^{\frac{m}{n}} = 0, \;\; где \;\; \frac{m}{n} \gt 0 $$
Для отрицательных оснований степень с дробными показателями не рассматривается.
Свойства степени с рациональным показателем
Для степени с рациональным показателем (как и с целым) справедливы все свойства степени с натуральным показателем,
но записываются они только для положительных оснований, (в случае целого показателя — для оснований отличных от нуля).
Например: $$ a^{p} \cdot a^{q} = a^{p + q} \;\; для \;\; любого \;\; a \gt 0 \;\; и \;\; любых \;\; рациональных \;\; p \;\; и \;\; q. $$
Из этих свойств для рациональных показателей вытекают ещё два утверждения:
a) \(a^{-p} = \frac{1}{a^p} \);
б) \( \sqrt[n]{a^p} = a^{\frac{p}{n}} \), где \( n \) — натуральное число.
Замечание:
Эти равенства похожи на определение степени с целым отрицательным показателем,
но там показатель \( p \) был только целым числом, в этих же утверждениях \( p \) — любое рациональное число.