Деление на ноль невозможно.
Деление с остатком: \( \frac{a}{b} = q + r \), \(r\) — остаток
Возведение в степень: \( 5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125 \)
\(5\) — основание степени, \(3\) — показатель степени, \(125\) — степень.
Вторая степень называется — квадратом,
третья степень — кубом,
первая степень числа — само это число: \( 7^1 = 7 \)
Свойства арифметических действий
- Переместительный (коммутативный): \(a + b = b + a\)
- Сочетательный (ассоциативный): \(a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c\)
Правила вычитания
- Вычитание суммы из числа: \(a - (b + c) = a - b - c\)
- Вычитание числа из суммы: \((a + b) - c = a + (b - c) = (a - c) + b\)
- Прибавление разности: \(a + (b - c) = a + b - c\)
- Вычитание разности: \(a - (b - c) = a - b + c\)
P.S.: Пункты 3 и 4:
если перед скобкой стоит знак «+», то снимаем скобки и знак в них не меняется,
если перед скобкой стоит знак «-», то скобки снимаем и знак меняется на противоположный.
Пример:
\(12 + (7 - 3) = 12 + 7 - 3 = 16\)
\(12 + (7 + 3) = 12 + 7 + 3 = 22\)
\(12 - (7 - 3) = 12 - 7 + 3 = 8\)
\(12 - (7 + 3) = 12 - 7 - 3 = 2\)
Законы умножения
- Переместительный (коммутативный): \( a \cdot b = b \cdot a\)
- Сочетательный (ассоциативный): \( a \cdot b \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c\)
- Распределительный (относительно суммы) (дистрибутивный):
\( (a + b + c) \cdot d = a \cdot d + b \cdot d + c \cdot d\)
P.S. Дистрибутивный закон верен и для разности:
\( (a - b - c) \cdot d = a \cdot d - b \cdot d - c \cdot d \)
Правила умножения
- Умножение произведения на число и числа на произведение.
Примеры:
\( (35 \cdot 12) \cdot 4 = (35 \cdot 4) \cdot 12 = 140 \cdot 12 = 1680 \)
\( 20 \cdot (7 \cdot 18 \cdot 5) = (20 \cdot 5) \cdot 7 \cdot 18 = 100 \cdot 7 \cdot 18 = 12600 \) - Умножение разности на число
\( (a - b) \cdot с = a \cdot с - b \cdot с \)
Правила деления
- Деление суммы на число: \( (a + b) / c = a / с + b / c \)
- Деление разности на число: \( (a - b) / c = a / с - b / c \)
- Деление числа на произведение.
Пример:
\( 960 / (4 \cdot 6 \cdot 8) = 960 / 192 = 5 \)
Деление выполняем по действиям:
\( 960 / 4 = 240, 240 / 6 = 40, 40 / 8 = 5 \) - Деление произведения на число.
\( (a \cdot b) / c = (a / c) \cdot b \)
или
\( (a \cdot b \cdot c) / d = (a / d) \cdot b \cdot c \)
Зависимость между данными числами и результатами действий над ними.
Сложение:
если \( a + b = c \), то \( a = c - b \) и \( b = c - a \)
(a, b — слагаемые, с — сумма)
Вычитание:
если \(a - b = c\), то \(a = b + c \) и \(b = a - c \)
(а — уменьшаемое, b — вычитаемое, с — разность)
Умножение:
если \(a \cdot b = c\), то \(a = c / b\) и \(b = c / a \)
(a, b — множетели, c — произведение)
Деление:
если \(a / b = c\), то \(a = b \cdot c \) и \(b = a / c \)
(a — делимое, b — делитель, c — частное)
Деление с остатком:
если \(a / b = q + r\), то \(a = b \cdot q + b \cdot r \)
(r — остаток)