\( \frac{1}{2}, \frac{10}{11}, \frac{3}{125} \) — правильные дроби
\( \frac{3}{2}, \frac{37}{37}, \frac{100}{7} \) — неправильные дроби
Основное свойство дроби
$$ \frac{a}{b} = \frac{m \cdot a}{m \cdot b} $$
Пример:
\( \frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{4}{8} = \frac{8}{16} \)
Преобразование дробей
Выделение целой части, перевод в неправильную дробь
В неправильных дробях можно выделить целую часть.
Пример:
Выделение целой части:
\( \frac{36}{5} = \frac{35+1}{5} = \frac{35}{5} + \frac{1}{5} = 7\frac{1}{5} \)
Приведение к неправильной дроби:
(целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель)
\( 3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}; \)
\( 4\frac{7}{9} = \frac{4 \cdot 9 +7}{9} = \frac{43}{9} \)
Сокращение дроби
Первый способ: последовательное сокращение на общие делители числителя и знаменателя.
Пример:
\( \frac{72}{96} = \frac{36}{48} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)
Второй способ: Полное сокращение на НОД числителя и знаменателя.
Пример:
Сократить \( \frac{840}{3600} \)
\( НОД(840, 3600) = 120 \)
\( \frac{840}{3600} = \frac{7}{30} \)
Третий способ: алгоритм Евклида.
Пример:
Сократить \( \frac{12091}{14017} \).
\( \frac{14017}{12091} = 1 (ост. 1926) \)
\( \frac{12091}{1926} = 6 (ост. 535) \)
\( \frac{1926}{535} = 3 (ост. 321) \)
\( \frac{535}{321} = 1 (ост. 214) \)
\( \frac{321}{214} = 1 (ост. \color{red}{107}) \)
\( \frac{214}{107} = 2 (ост. 0) \)
Последний ненулевой остаток — \( \color{red}{107} \).
НОД(14017, 12091) = НОД(12091, 1926) = НОД(1926, 535) = НОД(535, 321) = НОД(321, 214) = НОД(214, 107) = 107
Как видим, \( НОД(14017, 12091) = 107 \), поэтому \( \frac{12091}{14017} = \frac{113}{131} \).
Если члены дроби не имеют общих делителей, то дробь называется несократимой.
Раздробление дробей — выражение дроби в меньших долях единицы.
Пример:
Выразить \( \frac{4}{5} \) в пятнадцатых долях единицы.
\( \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15} \)
Приведение дробей к общему знаменателю
Пример:
Привести к наименьшему общему знаменателю дроби: \( \frac{5}{72} \) и \( \frac{7}{48} \).
\( НОК(72, 48) = 144 \).
Дополнительные множители: \( \frac{144}{72} = 2 \), \( \frac{144}{48} = 3 \).
Следовательно,
\( \frac{5 \cdot 2}{72 \cdot 2} = \frac{10}{144} \)
и
\( \frac{7 \cdot 3}{48 \cdot 3} = \frac{21}{144} \)
Арифметические действия над обыкновенными дробями
Сложение
$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b}; $$
$$ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d} $$
Вычитание
$$ \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a - c}{b}; $$
$$ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d - c \cdot b}{b \cdot d} $$
Умножение
$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}; $$
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $$
Замена деления умножением
$$ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c} $$
Пример:
Сложение и вычитание:
\( \frac{3}{5} + \frac{8}{5} = \frac{3+8}{5} = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} \)
Сложение (вычитание) дробей с целой частью
Для того чтобы сложить дроби с целой частью, нужно выполнить один из следующих пунктов:
- сложить целые части отдельно и дробные части отдельно (в этом случае при сложении дробных частей может получится неправильная дробь, в итоге нужно будет выделить целую часть и приплюсовать её к имеющимся)
- перевести дроби с целой частью в неправильные дроби, и затем осуществлять действия. (наименее трудоемкий процесс, складывая неправильные дроби, получаем неправильную дробь, затем выделяем целую часть. Этот способ сложения предпочтительнее)
Для вычитания дробей с целой частью, необходимо перевести дроби в неправильные, а затем осуществлять действие.
Пример:
$$ 2\frac{1}{4} + 3\frac{3}{4} = (2 + \frac{1}{4}) + (3 + \frac{3}{4}) = 5 + \frac{1+3}{4} = 5\frac{4}{4} = 6 $$
$$ 5\frac{1}{4} - 3\frac{3}{4} = (\frac{5 \cdot 4+1}{4}) - (\frac{3 \cdot 4+3}{4}) = \frac{21}{4} - \frac{15}{4} = \frac{21-15}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $$
Умножение и деление:
$$ \frac{3}{5} \cdot \frac{8}{7} = \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 7} = \frac{24}{35} $$
$$ \frac{3}{5} \div \frac{8}{7} = \frac{3}{5} \cdot \frac{7}{8} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 8} = \frac{21}{40} $$
Умножение дробей с целой частью
Для того чтобы умножить дроби с целыми частями, нужно:
- представить дроби в виде суммы целой части и дробной, затем перемножить полученные скобки,
- перевести дроби в неправильные и перемножить.(наименее трудоемкий процесс умножения, поэтому этот способ более предпочтителен.)
Пример:
$$ 2\frac{1}{4} \cdot 3\frac{3}{4}=\left(2+\frac{1}{4}\right) \cdot \left(3+\frac{3}{4}\right)=2 \cdot 3 +2 \cdot \frac{3}{4}+3 \cdot \frac{1}{4}+\frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4}=$$
$$=6+\frac{3}{2}+\frac{3}{4}+\frac{3}{16}=\frac{6 \cdot 16 +3 \cdot 8 +3 \cdot 4+3}{16}=\frac{135}{16}=8\frac{7}{16}$$
или
$$ 2\frac{1}{4} \cdot 3\frac{3}{4}= \frac{2 \cdot 4 +1}{4} \cdot \frac{3 \cdot 4 +3}{4}=\frac{9}{4} \cdot \frac{15}{4}=\frac{9 \cdot 15}{4 \cdot 4}=\frac{135}{16}=8\frac{7}{16}$$
как видно из примеров, второй вариант решения менее громоздкий.
Для деления дробей с целой частью необходимо сначала перевести дроби в неправильные, а затем производить действие.
Пример:
$$ 4\frac{3}{7} \div 3\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 7+3}{7} \div \frac{3 \cdot 9+4}{9} = \frac{31}{7} \div \frac{31}{9} = \frac{31}{7} \cdot \frac{9}{31} = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7} $$