§12.2. Движение

Пусть X и Y – две разные точки, образы которых при преобразовании движения f совпадают, т. е. f (X) = f (Y). По определению ρ (f (X), f (Y)) = ρ (X, Y). С одной стороны, ρ (X, Y) ≠ 0, так как по условию X  ≠  Y. С другой стороны, ρ (f (X), f (Y)) = 0 в силу предположения. Полученное противоречие доказывает теорему.

Пусть f – заданное движение, $f^{\mathrm{ -}1}$  – обратное к нему преобразование, а $X^{\mathrm{ \prime }}$  и $Y^{\mathrm{ \prime }}$  – две точки плоскости, являющиеся образами точек X и Y. По определению обратного преобразования $f^{\mathrm{ -}1}\left(X^{\mathrm{ \prime }}\right)=X\mathrm{, }{f}^{\mathrm{ -}1}\left(Y^{\mathrm{ \prime }}\right)=Y\mathrm{,}$   при этом $X^{\mathrm{ \prime }}=f\left(X\right)\mathrm{, }{Y}^{\mathrm{ \prime }}=f\left(Y\right)$   и $X^{\mathrm{ \prime }}{Y}^{\mathrm{ \prime }}=XY\mathrm{.}$   Следовательно, $f^{\mathrm{ -}1}$  – движение. Теорема доказана.

Пусть движение переводит три точки A, B, C, лежащие на одной прямой, в точки $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{B}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{C}^{\mathrm{ \prime }}$  соответственно, и для определенности положим, что точка B лежит между точками A и C. Тогда выполняются равенства $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}=AB\mathrm{, }{A}^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}=AC\mathrm{, }{B}^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}=BC\mathrm{; }AB+BC=AC\mathrm{.}$ Отсюда $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}+B^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}=A^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Это означает, что точка $B^{\mathrm{ \prime }}$   лежит между точками $A^{\mathrm{ \prime }}$   и $C^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Первая часть утверждения доказана.

Предположим, что найдутся три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, такие, что их образы $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{B}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{C}^{\mathrm{ \prime }}$  при движении f лежат на некоторой прямой. Рассмотрим преобразование $f^{\mathrm{ -}1}\mathrm{.}$   По теореме 12.2 $f^{\mathrm{ -}1}$  – движение, и в соответствии с доказанным в первой части теоремы образы точек $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{B}^{\mathrm{ \prime }}иC^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$  лежащих на одной прямой, также лежат на одной прямой. Но $f^{\mathrm{ -}1}\left(A^{\mathrm{ \prime }}\right)=A\mathrm{, }{f}^{\mathrm{ -}1}\left(B^{\mathrm{ \prime }}\right)=B\mathrm{, }{f}^{\mathrm{ -}1}\left(C^{\mathrm{ \prime }}\right)=C\mathrm{,}$   а они по предположению не лежат на одной прямой. Полученное противоречие доказывает теорему.

1. Пусть концам отрезка AB движение f сопоставляет точки $A^{\mathrm{ \prime }}$  и $B^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Возьмем любую точку X отрезка AB. Тогда по теореме 12.3 $X^{\mathrm{ \prime }}=f\left(X\right)$  лежит на прямой $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}$  между точками $A^{\mathrm{ \prime }}$  и $B^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$  то есть на отрезке $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$  Наоборот, любую точку $Y^{\mathrm{ \prime }}$  отрезка $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}$  преобразование $f^{\mathrm{ -}1}$  преобразует в точку Y, принадлежащую отрезку AB, так как $f^{\mathrm{ -}1}$  – также движение. Теорема доказана.
2. Пусть A и B – произвольные точки данной прямой, $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}$  – прямая, проведенная через образы точек A и B при движении f. Рассмотрим произвольную точку C прямой AB. По теореме 12.3 точки $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{B}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{C}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$  где $C^{\mathrm{ \prime }}=f\left(C\right)\mathrm{,}$  лежат на одной прямой, т.е. прямой $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$  Аналогично в силу того, что $f^{\mathrm{ -}1}$  – движение, для точки $D^{\mathrm{ \prime }}$  прямой $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}$  существует точка D прямой AB такая, что $D^{\mathrm{ \prime }}=f\left(D\right)\mathrm{.}$  Поскольку при движении взаимное расположение точек сохраняется, то луч переходит в луч при преобразовании движения.
3. По теореме 12.3 три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой, переходят при преобразовании движения в точки $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{B}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{C}^{\mathrm{ \prime }}$  соответственно, не лежащие на одной прямой. Кроме того, отрезки AB, BC и AC переходят в отрезки $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{B}^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}иA^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$  Таким образом, треугольник ABC переходит в треугольник $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Причем по определению движения $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}=AB\mathrm{, }{A}^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}=AC\mathrm{, }{B}^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}=BC\mathrm{.}$   Тогда по третьему признаку равенства треугольников треугольники ABC и $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}$  равны.

Рассмотрим три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Они задают лучи AB и AC, являющиеся сторонами угла BAC. Пусть $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{B}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{, }{C}^{\mathrm{ \prime }}$  – соответственно образы рассматриваемых точек A, B, C. Докажем, что $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }{B}^{\mathrm{ \prime }}{A}^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Согласно доказательству предыдущей теоремы треугольник ABC равен треугольнику $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$  а из равенства треугольников следует, что $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }{B}^{\mathrm{ \prime }}{A}^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$  Теорема доказана.

Рис. 12.2.2. К теореме 12.5

Возьмем любую точку X ∈ F. Пусть X₁ = f (X) и X₂ = g (X). Покажем, что X₁ и X₂ совпадают. Допустим, что X₁ и X₂ – различные точки. Так как f и g – движения, то X₁A₁ = XA и X₂A₁ = XA. Поэтому A₁X₂ = A₂X₂, т.е. точка A₁ равноудалена от точек X₁ и X₂. Следовательно, точка A₁ лежит на серединном перпендикуляре отрезка X₁X₂ – прямой l (см. рис. 12.2.1).

Но точно также можно сказать, что и точки B₁ и C₁ лежат на одной прямой l. Мы получим, что точки A₁, B₁, C₁ лежат на одной прямой l. Это противоречит теореме 12.3. Итак, $X_1$   и $X_2$   совпадают, и в силу произвольности выбора X движения f и g совпадают.

Введем векторы $\stackrel{⟶}{u}=\stackrel{⟶}{AB}\mathrm{, }\stackrel{⟶}{v}=\stackrel{⟶}{AC}\mathrm{, }\stackrel{⟶}{u_1}=\stackrel{⟶}{A_1{B}_1}\mathrm{, }\stackrel{⟶}{v_1}=\stackrel{⟶}{A_1{C}_1}\mathrm{.}$   В силу равенства треугольников ABC и $A_1{B}_1{C}_1$ имеем равенства ${\left(\stackrel{⟶}{A_1{B}_1}\right)}^2={\left(\stackrel{⟶}{AB}\right)}^2\mathrm{, }{\left(\stackrel{⟶}{A_1{C}_1}\right)}^2={\left(\stackrel{⟶}{AC}\right)}^2\mathrm{, }\stackrel{⟶}{A_1{B}_1}ċ\stackrel{⟶}{A_1{C}_1}=\stackrel{⟶}{AB}ċ\stackrel{⟶}{AC}\mathrm{,}$ т.е. ${\left(\stackrel{⟶}{u_1}\right)}^2={\left(\stackrel{⟶}{u}\right)}^2\mathrm{, }{\left(\stackrel{⟶}{v_1}\right)}^2={\left(\stackrel{⟶}{v}\right)}^2\mathrm{, }\stackrel{⟶}{u_1}ċ\stackrel{⟶}{v_1}=\stackrel{⟶}{u}ċ\stackrel{⟶}{v}\mathrm{.}$   (*) Пусть P – любая точка. Разложим вектор $\stackrel{⟶}{AP}$   по векторам $\stackrel{⟶}{AB}$   и $\stackrel{⟶}{AC}\mathrm{.}$   Получим $\stackrel{⟶}{AP}=\alpha \stackrel{⟶}{u}+\beta \stackrel{⟶}{v}\mathrm{.}$   Зададим преобразование f следующим образом: каждой точке P поставим в соответствие точку $P$ так, что если $\stackrel{⟶}{AP}=\alpha \stackrel{⟶}{u}+\beta \stackrel{⟶}{v}\mathrm{,}$   то $\stackrel{⟶}{A_1{P}_1}=\alpha \stackrel{⟶}{u_1}+\beta \stackrel{⟶}{v_1}\mathrm{.}$   Для этого преобразования $f(A)=A_1\mathrm{,}$ т.к. при P = A α = β = 0, что дает $P_1=A_1\mathrm{.}$  $f(B)=B_1\mathrm{,}$ т.к. при P = B α = 1, β = 0, тогда $P_1=B_1\mathrm{.}$ И, наконец, $f(C)=C_1\mathrm{.}$ Докажем, что f – движение. Возьмем любые две точки P и Q и соответствующие им точки $P_1=f(P)$ и $Q_1=f(Q)\mathrm{.}$ Пусть $\stackrel{⟶}{AP}=\alpha \stackrel{⟶}{u}+\beta \stackrel{⟶}{v}\mathrm{,}$   $\stackrel{⟶}{AQ}=\gamma \stackrel{⟶}{u}+\delta \stackrel{⟶}{v}\mathrm{.}$   Тогда $\stackrel{⟶}{A_1{P}_1}=\alpha \stackrel{⟶}{u_1}+\beta \stackrel{⟶}{v_1}\mathrm{,}$   $\stackrel{⟶}{A_1{Q}_1}=\gamma \stackrel{⟶}{u_1}+\delta \stackrel{⟶}{v_1}$   и $\stackrel{⟶}{PQ}=\left(\gamma -\alpha \right)\stackrel{⟶}{u}+\left(\delta -\beta \right)\stackrel{⟶}{v}\mathrm{,}$   $\stackrel{⟶}{P_1{Q}_1}=\left(\gamma -\alpha \right)\stackrel{⟶}{u_1}+\left(\delta -\beta \right)\stackrel{⟶}{v_1}\mathrm{.}$   Возведя в скалярный квадрат эти равенства, получим ${\stackrel{⟶}{PQ}}^2={\left(\gamma -\alpha \right)}^2{\stackrel{⟶}{u}}^2+{\left(\delta -\beta \right)}^2{\stackrel{⟶}{v}}^2+2\left(\gamma -\alpha \right)\left(\delta -\beta \right)\stackrel{⟶}{u}\stackrel{⟶}{v}$ и ${\stackrel{⟶}{P_1{Q}_1}}^2={\left(\gamma -\alpha \right)}^2{\stackrel{⟶}{u_1}}^2+{\left(\delta -\beta \right)}^2{\stackrel{⟶}{v_1}}^2+2\left(\gamma -\alpha \right)\left(\delta -\beta \right)\stackrel{⟶}{u_1}\stackrel{⟶}{v_1}\mathrm{.}$ Ввиду равенств (*) имеем ${\stackrel{⟶}{PQ}}^2={\stackrel{⟶}{P_1{Q}_1}}^2\mathrm{,}$   или $PQ=P_1{Q}_1\mathrm{.}$ Следовательно, f – движение. Теорема доказана.