§2.3. Различные виды углов

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны являются дополнительными лучами.

Рис. 2.3.1. Смежные углы

Легко доказать следующие теоремы о смежных углах:

• сумма смежных углов равна 180°;
• если два угла равны, то равны и смежные им углы.

Угол называется прямым, если его величина равна 90°. Угол, меньший 90°, называется острым; больший 90°, но меньший 180° – тупым.

Рис. 2.3.2. Различные виды углов

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого угла.

Рис. 2.3.3. Вертикальные углы

Теорема о сумме смежных углов позволяет доказать, что вертикальные углы равны.

Пусть прямые a и b пересекаются в точке A. Точка A разбивает каждую прямую на два взаимно дополнительных луча с вершиной в точке A.

Углом между прямыми a и b называется меньший из углов с вершиной в точке A сторонами которого являются пара лучей, принадлежащих разным прямым.

Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

Для обозначения перпендикулярности прямых a и b, будем пользоваться символом $\mathrm{\perp }\mathrm{.}$

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую и только одну.

Пусть a – данная прямая, а точка A принадлежит прямой. Кроме того, [AB) – один из лучей прямой a. Тогда от луча AB можно отложить угол BAC, равный 90° (аксиома 2.2.). По определению прямая AC ⊥ a (рис. 2.3.4).

Рис. 2.3.4. Перпендикулярные прямые

Докажем, что такая прямая AC единственная. Допустим, что существует другая прямая, проходящая через точку A, не совпадающая с прямой AC и перпендикулярная к прямой a. Пусть D – какая-либо точка этой прямой, лежащая в той же полуплоскости от a, что и точка С. Тогда ∠ BAC = ∠ BAD = 90°. Но это противоречит аксиоме 2.2, по которой от прямой в данную полуплоскость можно отложить только один угол, равный 90°. Теорема доказана.

Перпендикуляром к данной прямой называется отрезок прямой, перпендикулярой данной, имеющий одним из концов их точку пересечения. Этот конец называется основанием перпендикуляра.

Рис. 2.3.5. Перпендикуляр к прямой

Биссектрисой называется луч, проходящий между его сторонами и делящий угол пополам.

Рис. 2.3.6. Биссектриса