§4.2. Признаки равенства треугольников

Рис. 4.2.1.

Пусть Δ ABC и $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ таковы, что $AB=A_1{B}_1\mathrm{,}$

$AC=A_1{C}_1\mathrm{,}$ 

$\angle A=\angle A_1$ (рис. 4.2.1).

В соответствии с аксиомой 4.1 существует $\Delta A_2{B}_2{C}_2\mathrm{,}$ равный данному $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ с вершиной $A_2$ в точке $A_1\mathrm{,}$ с вершиной $B_2\mathrm{,}$ лежащей на луче $A_1{B}_1\mathrm{,}$ и вершиной $C_2$ в той же полуплоскости относительно прямой $A_1{B}_1\mathrm{,}$ где лежит вершина $C_1$ (рис. 4.2.2).

Так как $A_1{B}_1=A_2{B}_2$ по условию, то на основании аксиомы 1.5 точки $B_1$ и $B_2$ совпадают (рис. 4.2.3).

Так как $\angle B_1{A}_1{C}_1=\angle B_2{A}_1{C}_2\mathrm{,}$ то луч $A_1{C}_2$ совпадает с лучом $A_1{C}_1$ (рис. 4.2.4). Так как $A_1{C}_1=A_1{C}_2\mathrm{,}$ то на основании аксиомы 2.5 вершина $C_2$ совпадает с вершиной $C_1$ (рис. 4.2.5). Тогда $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ совпадает с $\Delta A_1{B}_2{C}_2$ и, значит, равен Δ ABC. Теорема доказана.

Рис. 4.2.2.

Рис. 4.2.3.

Рис. 4.2.4.

Рис. 4.2.5.

Пусть Δ ABC и $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ таковы, что $AB=A_1{B}_1\mathrm{,}$  $\angle A=\angle A_1\mathrm{,}$  $\angle B=\angle B_1\mathrm{.}$

По аксиоме 4.1 существует $\Delta A_1{B}_2{C}_2\mathrm{,}$ равный Δ ABC, с вершиной $B_2$ на луче $A_1{B}_1$ и с вершиной $C_2$ в той же полуплоскости, где и вершина $C_1\mathrm{.}$ Так как $A_2{B}_2=A_1{B}_1\mathrm{,}$ то вершина $B_2$ совпадает с вершиной $B_1\mathrm{.}$ Так как $\angle B_2{A}_1{C}_2=\angle B_1{A}_1{C}_1$ и $\angle A_1{B}_1{C}_2=\angle A_1{B}_1{C}_1\mathrm{,}$ то луч $A_1{C}_2$ совпадает с лучом $A_1{C}_1\mathrm{,}$ а луч $B_1{C}_2$ совпадает с лучом $B_1{C}_1\mathrm{.}$ Отсюда следует, что вершина $C_2$ совпадает с вершиной $C_1$ Итак, $\Delta A_1{B}_1{C}_1$ совпадает с треугольником $\Delta A_1{B}_2{C}_2$ а значит, равен Δ ABC. Теорема доказана. (рис. 4.2.6).

Рис. 4.2.6. Второй признак равенства треугольников