§9.4. Длина окружности

Отношение длины окружности к ее радиусу не зависит от окружности.

Возьмем две произвольные окружности ω1и ω2. Пусть R1 и R2 – их радиусы, а l1 и l2 – их длины соответственно. Допустим, что утверждение теоремы неверно и \( \frac{l_1}{2R_1} \neq \frac{l_2}{2R_2} \)
Пусть \( \frac{l_1}{2R_1} - \frac{l_2}{2R_2} = \varepsilon \gt 0 \)

Впишем в окружности правильные многоугольники. При достаточно больших n длины окружностей ω1 и ω2 будут сколь угодно мало отличаться от периметров вписанных многоугольников P1 и P2 соответственно. Это значит, можно так подобрать n, что l1 – P1 = δ1 > 0 и l2 – P2 = δ2 > 0. Подставим выражения для l1 и l2 из этих равенств в предполагаемое неравенство: P 1 + δ 1 2 R 1 - P 2 + δ 2 2 R 2 =ε . Но по следствию 9.3 P 1 2 R 1 = P 2 2 R 2 , и отсюда δ 1 2 R 1 - δ 2 2 R 2 =ε . Здесь ε – фиксированное число, δ1 и δ2 могут быть сделаны очень маленькими за счет выбора очень большого n. Например, за счет выбора n можно сделать δ < 2ε R 1 . Тогда, очевидно, δ 1 2 R 1 - δ 2 2 R 2 <ε- δ 2 2 R 2 <ε , что приводит к противоречию. Теорема доказана.

Отношение длины окружности к диаметру принято обозначать греческой буквой \( \pi \) (читается «пи»). l 2R =π . Отсюда длина окружности вычисляется по формуле l = 2πR .

Введем новую меру угла на основе понятия длины окружности.

Радианной мерой угла называется отношение длины дуги окружности, которая соответствует центральному углу, равному данному, к радиусу окружности.

Радианная мера угла в \( 1^\circ \) равна π 180 .

Тогда, например, радианные меры углов 30° и 45° соответственно равны π 6 и π 4 .

С благодарностью к источнику: Открытая Математика. Планиметрия.