§1.9. Векторы

Если \( \overrightarrow i, \overrightarrow j, \overrightarrow k \) — попарно перпендикулярные единичные векторы, так называемый ортонормированный базис, то любой вектор \( \overrightarrow a \) пространства может быть единственным образом разложен по этим векторам, т.е. представлен в виде

\( \overrightarrow a = a_1 \overrightarrow i + a_2 \overrightarrow j + a_3 \overrightarrow k \).

Числа \( \{ a_x ;a_y ;a_z \} \) называются декартовыми координатами вектора \( \overrightarrow a \)в базисе \( \overrightarrow i \;,\overrightarrow j \;,\overrightarrow k \). Декартовые координаты вектора являются проекциями этого вектора на соответствующие оси системы координат:

\( a_x = np_x \overrightarrow a \;;\;a_y = np_y \overrightarrow a \;;\;a_z = np_z \overrightarrow a \; \).

Если числа \( a_x ;a_y ;a_z \) отличны от нуля, то \( \overrightarrow a \) можно изобразить с помощью диагонали прямоугольного параллелепипеда, у которого длины ребер равны \( a_x,\;a_y ,\;a_z \; \).

Координаты вектора

Если вектор \( \overrightarrow a \) отложенный от точки \( A \) с координатами \( (x_1 ;y_1 ;z_1 ) \)и кончаются в точке \( B \) с координатами \( (x_2 ;y_2 ;z_2 ) \), то координаты вектора определяются через координаты начала и конца вектора по формулам:

\( a_1 = x_2 - x_1 \)

\( a_2 = y_2 - y_1 \)

\( a_3 = z_2 - z_1 \)

то есть:

\( \overrightarrow {AB} \{ x_2 - x_1 ;\;y_2 - y_1 ;\;z_2 - z_1 \} \; \).

Если \( \overrightarrow a \;\{ a_1 ;a_2 ;a_3 \} \) и \( \overrightarrow b \;\{ b_1 ;b_2 ;b_3 \} \) — два произвольных вектора, то:

  • Координаты суммы векторов равны сумме соответствующих координат слагаемых

    \( \overrightarrow a \; + \overrightarrow b = \{a_1 + b_1 ;a_2 + b_2 ;a_3 + b_3 \} \).

  • Координаты разности векторов равны разности соответствующих координат этих векторов

    \( \overrightarrow a \; - \overrightarrow b = \{ a_1 - b_1 ;a_2 - b_2 ;a_3 - b_3 \} \).

  • Координаты произведения на число \( \lambda \) равны произведению соответствующих координат векторов на данное число

    \( \lambda \overrightarrow a = \{ \lambda a_1 ;\lambda a_2 ;\lambda a_3\} \).

  • Линейная комбинация \( \overrightarrow c = \lambda \overrightarrow a + \mu \overrightarrow b \) векторов \( \overrightarrow a \) и \( \overrightarrow b \), где \( \lambda \) и \( \mu \) — произвольные числа, соответствуют координаты

    \( \overrightarrow c = \{ \lambda a_1 + \mu b_1 ;\lambda a_2 + \mu b_2;\lambda a_3 + \mu b\} \; \).

Скалярное произведение векторов определяется как

\( (\overrightarrow a \; \cdot \overrightarrow b ) = |\overrightarrow a ||\overrightarrow b | \cdot \cos \varphi \;,\;\;\varphi = \widehat{(\overrightarrow a \; \cdot \overrightarrow b )} \)

Величина скалярного произведения определяется через координаты векторов по формуле

\( \overrightarrow a \; \cdot \overrightarrow b = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3 \;\; \).

Длина вектора \( \overrightarrow a \) с координатами \( \;\{a_1 ;a_2 ;a_3 \} \) дается формулой

\( |\overrightarrow a |\; = \;\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } \).

Угол между векторами \( \overrightarrow a \) и \( \overrightarrow b \) определяется из равенства

\( \cos \varphi = \frac{{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 }}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 } \cdot \;\sqrt {b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 } }} \).

Всякое линейное уравнение

\( Ax + By + Cz + D = 0 \)

связывающие координаты \( x,y,z \) определяет множество точек пространства, лежащих на плоскости, и, наоборот, каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя неизвестными, имеющих по крайне мере один ненулевой коэффициент при переменных.

Угол между двумя плоскостями \( A_{\;1} x + B_1 y + C_1 z + D_{\;1} = 0 \) и \( A_{\;2} x + B_2 y + C_2 z + D_{\;2} = 0 \) находится как угол между перпендикулярными векторами \( \overrightarrow n _1 = \{ A_1 ,B_1 ,C_1 \} \) и \( \overrightarrow n _2 = \{ A_2 ,B_2 ,C_2 \} \), т.е. по формуле

\( \cos \varphi = \frac{{A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 b_2 }}{{\sqrt {A_1^2 + B_1^2 + C_1^2 } \cdot \;\sqrt {A_2^2 + B_2^2 + C_2^2 } }} \).

Расстояние \( h \) от точки \( M_0 (x_0 ;y_0 ;z_0 ) \) до плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \) дается формулой

\( h = \frac{{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}}{{\sqrt {A^2 + B^2 + C^2 }}} \).

С благодарностью к источнику: Физ-мат класс. Стереометрия.