Золотое сечение

Определение и численные значения

Золотым сечением (золотой пропорцией, делением в крайнем и среднем отношении, гармоническим делением) называется соотношение величин $ a $ и $ b $ $ (a > b) $, когда справедливо равенство (Рис. 1): $$ \frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} $$

Рис.1. Золотое сечение отрезка

Число, равное соотношению $ \frac{a}{b} $ обычно обозначают прописной греческой буквой $ Ф $ (в честь древнегреческого скульптора и архитектора Фидия).

Из исходного равенства можно получить, что: $$ Ф = \frac{ \sqrt{5} + 1 }{2} \approx 1,618 $$

Для практических целей обычно используют значение $ Ф = 1,62 $ .

Величину $ \frac{1}{Ф} = \frac{ \sqrt{5} - 1 }{2} \approx 0,618 $ обозначают строчной греческой буквой $ \varphi $.

Если взять общую длину отрезка $ (a + b) $ за 100%,
то длина отрезка a будет составлять 62% (округленное значение),
а длина отрезка b – 38% (округленное значение). (Рис. 2)

Рис. 2. Процентное соотношение величин a и b

Геометрическое построение

На отрезке AB построим точку E, которая делит отрезок AB так, что AB / AE = Ф

Из точки B проведем перпендикуляр к отрезку AB.
Да данном перпендикуляре отложим отрезок BC, равный половине отрезка AB.
Соединим точки C и A.
На отрезке CA отложим отрезок CD, равный отрезку CB.
На отрезке AB отложим отрезок AE, равный отрезку AD.

Точка E будет искомой.

Докажем, что точка E – искомая.

Поскольку при любых длинах начального отрезка AB соотношение AB / AE будет сохранятся в силу подобия – для простоты расчетов будем считать отрезок AB равным единице.

Пусть AB = 1

Так как треугольник ABC – прямоугольный, то:
$ AC^2 = AB^2 + BC^2 $
Так как BC – половина AB, то:
$ AC^2 = (2 \cdot BC)^2 + BC^2 $
$ AC^2 = 5 \cdot BC^2 $
$ AC = \sqrt{5} \cdot BC $

Поскольку $ BC = 1/2 $, то
$ AC = \frac{ \sqrt{5} }{ 2 } $

Так как $ AD = AC – CD $ и $ CD = 1/2 $ , то:
$ AD = \frac{ \sqrt 5 }{2} - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt 5 - 1}{2} $

Так как $ AD = AE $, то:
$ AE = \frac{\sqrt 5 - 1}{2} $

Теперь определим значение соотношения $ AB / AE $ :
$ \frac{AB}{AE} = 1 \div \frac{\sqrt 5 - 1}{2} = \frac{2}{\sqrt 5 - 1} = $
$ = \frac{ 2 \cdot (\sqrt 5 + 1) }{ {\sqrt 5 - 1} \cdot (\sqrt 5 + 1) } = \frac{ 2 \cdot (\sqrt 5 + 1) }{ 5 - 1 } = \frac{ \sqrt 5 + 1 }{2} = Ф $

Что и требовалось доказать,
$ \frac{AB}{AE} = Ф $
Следовательно, точка E – искомая.

Алгебраические свойства

$ Ф $ – иррациональное алгебраическое число.
Является положительным решением квадратного уравнения:
$ x^2 - x - 1 = 0 $
Отсюда следуют соотношения:
$ Ф^2 - Ф = 1 $
$ Ф \cdot (Ф - 1) = 1 $
Число $ Ф $ также можно выразить через тригонометрические функции:
$ Ф $ представляется в виде бесконечной цепочки квадратных корней:
$ Ф $ представляется в виде бесконечной цепной дроби:

подходящими дробями которой служат отношения последовательных чисел Фибоначчи.

Таким образом,

Значения дроби после запятой для $ Ф, \frac{1}{Ф}, Ф^2 $, в любой системе счисления будут равны

Геометрические свойства

Если отрезать квадрат от прямоугольника, построенного по принципу золотого сечения, то получим новый прямоугольник с тем же соотношением сторон, что и у первоначального.

$$ Ф = \frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} $$
В правильной пятиконечной звезде каждый отрезок делится пересекающим его отрезком в золотом сечении. На приведённом рисунке отношения красного отрезка к зелёному, зелёного к синему и синего к пурпурному равны $ Ф $. Кроме того, отношение красного отрезка к расстоянию между соседними вершинами звезды, которое равно зелёному отрезку, также равно $ Ф $.
Отношение диагонали правильного пятиугольника к стороне равно золотому сечению.

Золотое сечение в архитектуре

Мексика

Мексиканские пирамиды построены с использованием пропорций золотого сечения.
Hа попеpечном сечении пиpамиды видна фоpма, подобная лестнице. В пеpвом яpусе 16 ступеней, во втоpом 42 ступени и в тpетьем - 68 ступеней.
Эти числа основаны на соотношении Фибоначчи следующим обpазом:
16 x 1.618 = 26
16 + 26 = 42
26 x 1.618 = 42
42 + 26 = 68

Египет

Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона говорят о том, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления.

Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

Древняя Греция

Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада.