§13.3. Площадь круга

Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей ее окружности на радиус:

S= 1 2 ( 2πr ) r=π r 2 .
К теореме 13.6 Рис. 13.3.1. К теореме 13.6

Построим два правильных n-угольника: P1 – вписанный в круг и P2 – описанный около круга (рис. 13.3.1).

Многоугольники являются простыми фигурами. Многоугольник P 2 содержит круг, а многоугольник P 1 содержится в круге. Радиусы, проведенные в вершины многоугольника P 1 , разбивают его на n треугольников, равных треугольнику AOD. Поэтому S P 1 =n S AOD .   Так как S AOD =ACċOC=ACċAOċcos α ,   S P 1 =( nċAC ) AOċcos α= pr 2 cosα ,   где p – периметр многоугольника P 1 ,   r – радиус круга. Аналогично находим площадь многоугольника P 2 : S P 2 =n S BOF ,   S BOF =ABċAO= AC cosα ċAO ,   S P 2 = nċACċAO cosα = pr 2cosα .   Итак, многоугольник P 1 , содержащийся в круге, имеет площадь S P 1 = pr 2 cosα ,   а многоугольник, содержащий круг, имеет площадь S P 2 = pr 2cosα .   При достаточно большом n периметр p отличается сколь угодно мало от длины l окружности, а cos α сколь угодно мало отличается от единицы, поэтому площади многоугольников сколь угодно мало отличаются от величины lr 2 .   Согласно определению площади произвольной фигуры это значит, что площадь круга S= lr 2 =π r 2 .   Теорема доказана.

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле S= π r 2 360ˆ α ,   где r – радиус круга, α – градусная мера соответствующего центрального угла (рис. 13.3.2).

Круговой сектор
Рис. 13.3.2. Круговой сектор 		Круговой сегмент
Рис. 13.3.3. Круговой сегмент 		Круговой сегмент
Рис. 13.3.4. Круговой сегмент

Площадь сегмента, не равного полукругу, вычисляется по формуле S= π r 2 360ˆ α± S Δ ,   где α – градусная мера дуги кругового сегмента, а SΔ – площадь треугольника с вершинами в центре круга и концах радиусов, ограничивающих соответствующий сектор. Знак «–» выбирается, если α < 180° (рис. 13.3.3), знак «+», если α > 180° (рис. 13.3.4).

С благодарностью к источнику: Открытая Математика. Планиметрия.