§11.2. Операции с векторами и их свойства

Пусть A (x₁; y₁), B (x₂; y₂), C (x₃; y₃) – данные точки.

Вектор $\stackrel{⟶}{AB}$ имеет координаты $x_2-x_1\mathrm{,}{y}_2-y_1\mathrm{,}$ вектор $\stackrel{⟶}{BC}$ имеет координаты $x_3-x_2,y_3-y_2\mathrm{.}$ Следовательно, вектор $\stackrel{⟶}{AB}+\stackrel{⟶}{BC}$ имеет координаты $x_3-x_1,y_3-y_1$ Вектор $\stackrel{⟶}{AC}$ имеет такие же координаты. По теореме 11.5 $\stackrel{⟶}{AB}+\stackrel{⟶}{BC}=\stackrel{⟶}{AC}\mathrm{.}$ Теорема доказана.

Замечание. Теорема 11.6 даёт следующий способ построения суммы произвольных векторов $\stackrel{⟶}{a}$ и $\stackrel{⟶}{b}\mathrm{.}$ Надо от конца вектора $\stackrel{⟶}{a}$ отложить вектор $\stackrel{⟶}{b^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{,}$ равный вектору $\stackrel{⟶}{b}\mathrm{.}$ Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора $\stackrel{⟶}{a}\mathrm{,}$ а конец – с концом вектора $\stackrel{⟶}{b^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{,}$ будет суммой векторов $\stackrel{⟶}{a}$ и $\stackrel{⟶}{b}\mathrm{.}$

Построим векторы $\stackrel{⟶}{OA}$ и $\stackrel{⟶}{OB}\mathrm{,}$ равные $\stackrel{⟶}{a}$ и $\lambda \stackrel{⟶}{a}$ соответственно (O – начало координат). Пусть $a_1$ и $a_2$ – координаты вектора $\stackrel{⟶}{a}\mathrm{.}$ Тогда координатами точки A будут числа $a_1$ и $a_2\mathrm{,}$ координатами точки B – числа $\lambda a_1$ и $\lambda a_1\mathrm{.}$

Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a₁; a₂), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λa₁; λa₂). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c₁ и c₂ любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и координаты a₁ и a₂ точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.

Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы $\stackrel{⟶}{a}$ и $\lambda \stackrel{⟶}{a}$ одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы $\stackrel{⟶}{a}$ и $\lambda \stackrel{⟶}{a}$ противоположно направлены.

Абсолютная величина вектора $\lambda \stackrel{⟶}{a}$ равна $\mathrm{|}\lambda \stackrel{⟶}{a}\mathrm{|}=\sqrt{{\mathrm{(}\lambda a_1\mathrm{)}}^2+{\mathrm{(}\lambda a_2\mathrm{)}}^2}=\mathrm{|}\lambda \mathrm{|}\sqrt{a_1^2+a_2^2}=\mathrm{|}\lambda \mathrm{|}\mathrm{|}\stackrel{⟶}{a}\mathrm{|}\mathrm{.}$ Теорема доказана.

Рис. 11.2.4.

Пусть $\stackrel{⟶}{a}$ и $\stackrel{⟶}{b}$ одинаково направлены. Векторы $\stackrel{⟶}{b}$ и $\left(\frac{\left|\stackrel{⟶}{b}\right|}{\left|\stackrel{⟶}{a}\right|}\right)\stackrel{⟶}{a}$ одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину $\mathrm{|}\stackrel{⟶}{b}\mathrm{|}\mathrm{.}$ Значит, они равны: $\stackrel{⟶}{b}=\left(\frac{\left|\stackrel{⟶}{b}\right|}{\left|\stackrel{⟶}{a}\right|}\right)\stackrel{⟶}{a}=\lambda \stackrel{⟶}{a}\mathrm{,}$ $\lambda =\frac{\left|\stackrel{⟶}{b}\right|}{\left|\stackrel{⟶}{a}\right|}\mathrm{.}$ Если векторы $\stackrel{⟶}{a}$ и $\stackrel{⟶}{b}$ противоположно направлены, аналогично заключаем, что

$\stackrel{⟶}{b}=\mathrm{-}\left(\frac{\left|\stackrel{⟶}{b}\right|}{\left|\stackrel{⟶}{a}\right|}\right)\stackrel{⟶}{a}=\lambda \stackrel{⟶}{a}\mathrm{,}$

$\lambda =\mathrm{-}\frac{\left|\stackrel{⟶}{b}\right|}{\left|\stackrel{⟶}{a}\right|}\mathrm{.}$ Теорема доказана.

Пусть A и B – начало и конец вектора $\stackrel{⟶}{c}\mathrm{.}$ Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам $\stackrel{⟶}{a}$ и $\stackrel{⟶}{b}\mathrm{.}$ Они пересекутся в некоторой точке C. Имеем $\stackrel{⟶}{AB}=\stackrel{⟶}{AC}+\stackrel{⟶}{CB}\mathrm{.}$ Так как векторы $\stackrel{⟶}{a}$ и $\stackrel{⟶}{AC}$ коллинеарны, то $\stackrel{⟶}{AC}=\lambda \stackrel{⟶}{a}\mathrm{;}$ так как векторы $\stackrel{⟶}{CB}$ и $\stackrel{⟶}{b}$ коллинеарны, то $\stackrel{⟶}{CB}=\mu \stackrel{⟶}{b}\mathrm{.}$ Таким образом, $\stackrel{⟶}{c}=\lambda \stackrel{⟶}{a}+\mu \stackrel{⟶}{b}\mathrm{.}$

Для доказательства единственности представления допустим, что в условиях теоремы такое представление не единственно. То есть наряду с числами λ и μ такими, что $\stackrel{⟶}{c}=\lambda \stackrel{⟶}{a}+\mu \stackrel{⟶}{b}$ существуют числа ${\lambda }_1$ и ${\mu }_1$ такие, что $\stackrel{⟶}{c}={\lambda }_1\stackrel{⟶}{a}+{\mu }_1\stackrel{⟶}{b}$ и при этом верно хотя бы одно из соотношений $\lambda \ne {\lambda }_1\mathrm{,}$ $\mu \ne {\mu }_1\mathrm{.}$ Пусть для определенности $\lambda \ne {\lambda }_1\mathrm{.}$ Тогда из равенства $\lambda \stackrel{⟶}{a}+\mu \stackrel{⟶}{b}={\lambda }_1\stackrel{⟶}{a}+{\mu }_1\stackrel{⟶}{b}$ имеем $\stackrel{⟶}{a}=\frac{\mu -{\mu }_1}{{\lambda }_1-\lambda }\stackrel{⟶}{b}\mathrm{.}$ На основании теоремы 11.7 и замечания 11.1 получаем, что векторы $\stackrel{⟶}{a}$ и $\stackrel{⟶}{b}$ коллинеарны. Но это противоречит условию неколлинеарности этих векторов. Показанное противоречие доказывает единственность представления. Теорема доказана.

Пусть $\stackrel{⟶}{a}$ и $\stackrel{⟶}{b}$ – данные векторы и φ – угол между ними. Имеем:

Так как координатные векторы отличны от нуля и неколлинеарны, то любой вектор $\stackrel{⟶}{a}\mathrm{(}{a}_1\mathrm{;}{a}_2\mathrm{)}$ допускает разложение по этим векторам в силу теоремы 11.9 $\stackrel{⟶}{a}=\lambda \stackrel{⟶}{l_1}+\mu \stackrel{⟶}{l_2}\mathrm{.}$ Найдем λ и μ. Умножим обе части равенства скалярно на вектор $\stackrel{⟶}{l_1}\mathrm{(}1\mathrm{;}0\mathrm{)}\mathrm{.}$ Имеем $\stackrel{⟶}{a}\stackrel{⟶}{l_1}=\lambda \stackrel{⟶}{l_1}\stackrel{⟶}{l_1}+\mu \stackrel{⟶}{l_2}\stackrel{⟶}{l_1}\mathrm{.}$ С учетом того, что $\stackrel{⟶}{l_1}$ и $\stackrel{⟶}{l_2}$ ортогональны, имеем $a_1ċl+a_2ċ0=\lambda (lċl+0ċ0)\mathrm{;}\lambda =a_1\mathrm{.}$ Аналогично, умножая равенство на $\stackrel{⟶}{l_2}\mathrm{,}$ получим $\stackrel{⟶}{a}\stackrel{⟶}{l_2}=\mu \stackrel{⟶}{l_2}\stackrel{⟶}{l_2}$ или $a_1ċ0+a_2ċl=\mu (0ċ0+lċl)\mathrm{;}\mu =a_2\mathrm{.}$ Таким образом, для любого вектора $\stackrel{⟶}{a}\mathrm{(}{a}_1\mathrm{;}{a}_2\mathrm{)}$ получается разложение $\stackrel{⟶}{a}=\lambda \stackrel{⟶}{l_1}+\mu \stackrel{⟶}{l_2}\mathrm{.}$ Так как в силу теоремы 11.4 и теоремы 11.5 координаты однозначно определяют вектор, то разложение единственно. Теорема доказана.