§11.3. Базис. Общая декартова система координат

Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определённом порядке.

Пусть $\stackrel{⟶}{e_1}$ и $\stackrel{⟶}{e_2}$ – некоторый базис и $\stackrel{⟶}{a}$ – произвольный вектор, тогда по теореме 11.9 и следствию 11.1 существуют два единственным образом определенных числа x и y, такие, что

$\stackrel{⟶}{a}=x\stackrel{⟶}{e_1}+y\stackrel{⟶}{e_2}\mathrm{.}$

Числа x и y называются координатами вектора $\stackrel{⟶}{a}$ в данном базисе. В этом случае также пишут $\stackrel{⟶}{a}=\left(x\mathrm{;}y\right)\mathrm{.}$

Справедливы следующие свойства.

1. При умножении вектора на число все его координаты в данном базисе умножаются на это число.
2. При сложении двух или больше векторов их соответственные координаты складываются.

Пусть $\left(\stackrel{⟶}{e_1}\mathrm{;}\stackrel{⟶}{e_2}\right)$ – базис и $\stackrel{⟶}{a}=\left(x_1\mathrm{;}{y}_1\right)\mathrm{,}$

$\stackrel{⟶}{b}=\left(x_2\mathrm{;}{y}_2\right)$ – два произвольных вектора. Очевидно,

$\stackrel{⟶}{a}=x_1\stackrel{⟶}{e_1}+y_1\stackrel{⟶}{e_2}\mathrm{,}$

$\stackrel{⟶}{b}=x_2\stackrel{⟶}{e_1}+y_2\stackrel{⟶}{e_2}\mathrm{.}$

1. Пусть λ – произвольное число. Имеем

   $\lambda \stackrel{⟶}{a}=\lambda \left(x_1\stackrel{⟶}{e_1}+y_1\stackrel{⟶}{e_2}\right)=\lambda x_1\stackrel{⟶}{e_1}+\lambda y_1\stackrel{⟶}{e_2}=\left(\lambda x_1\mathrm{;}\lambda y_1\right)\mathrm{.}$

   $\begin{array}{l}\end{array}$ Здесь мы воспользовались свойствами произведения вектора на число.

2. $\begin{array}{c}\stackrel{⟶}{a}+\stackrel{⟶}{b}=x_1\stackrel{⟶}{e_1}+y_1\stackrel{⟶}{e_2}+x_2\stackrel{⟶}{e_1}+y_2\stackrel{⟶}{e_2}=\\ =\left(x_1+x_2\right)\stackrel{⟶}{e_1}+\left(y_1+y_2\right)\stackrel{⟶}{e_2}=\left(\left(x_1+x_2\right)\mathrm{;}\left(y_1+y_2\right)\right)\mathrm{.}\end{array}$

Пусть на плоскости заданы точка O и произвольный базис $\left(\stackrel{⟶}{e_1}\mathrm{;}\stackrel{⟶}{e_2}\right)\mathrm{.}$ Совокупность этого базиса и точки O называется декартовой системой координат $O\mathrm{,}\stackrel{⟶}{e_1}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{e_2}\mathrm{.}$ Точка O называется началом координат. Если через эту точку O провести прямые в направлениях, заданных базисными векторами $\stackrel{⟶}{e_1}$ и $\stackrel{⟶}{e_2}\mathrm{,}$ то полученные прямые называются осями координат: прямая OX – осью абсцисс, прямая Oy – осью ординат. Координаты радиус-вектора точки M называются координатами этой точки в данной системе координат (x – абцисса, y – ордината).

Рис. 11.3.1.

Если $\stackrel{⟶}{e_1}$ и $\stackrel{⟶}{e_2}$ взаимно перпендикулярны и их модули равны единице, то базис называется ортонормированным, и мы получим известную нам прямоугольную декартову систему координат на плоскости. Таким образом, рассмотренная здесь декартова система координат $\left(O\mathrm{,}\stackrel{⟶}{e_1}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{e_2}\right)$ является обобщением рассмотренной ранее прямоугольной декартовой системы координат, которая в свою очередь является частным случаем общей декартовой системы координат.

Мы видели (теорема 11.12), что свойства сложения и умножения вектора на число, записанные через координаты вектора, в произвольном базисе сохраняются. Рассмотрим, как изменится выражение для скалярного произведения, записанное через их координаты в произвольном базисе. Итак, пусть $\left(\stackrel{⟶}{e_1}\mathrm{;}\stackrel{⟶}{e_2}\right)$ – произвольный базис, $\stackrel{⟶}{a}=x_1\stackrel{⟶}{e_1}+y_1\stackrel{⟶}{e_2}$ и $\stackrel{⟶}{b}=x_2\stackrel{⟶}{e_1}+y_2\stackrel{⟶}{e_2}$ – любые два вектора. Рассмотрим скалярное произведение этих векторов и преобразуем его, используя ранее доказанные свойства:

$\left(\stackrel{⟶}{a}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{b}\right)=\left(x_1\stackrel{⟶}{e_1}+y_1\stackrel{⟶}{e_2}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{b}\right)=x_1\left(\stackrel{⟶}{e_1}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{b}\right)+y_1\left(\stackrel{⟶}{e_2}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{b}\right)=x_1\left(\stackrel{⟶}{e_1}\mathrm{,}{x}_2\stackrel{⟶}{e_1}+y_2\stackrel{⟶}{e_2}\right)+y_1\left(\stackrel{⟶}{e_2}\mathrm{,}{x}_2\stackrel{⟶}{e_1}+y_2\stackrel{⟶}{e_2}\right)=$

$=x_1{x}_2\left(\stackrel{⟶}{e_1}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{e_1}\right)+x_1{y}_2\left(\stackrel{⟶}{e_1}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{e_2}\right)+y_1{x}_2\left(\stackrel{⟶}{e_2}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{e_1}\right)+y_1{y}_2\left(\stackrel{⟶}{e_2}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{e_2}\right)=$

$x_1{x}_2{\left|e_1\right|}^2+\left(x_1{y}_2+y_1{x}_2\right)\left|e_1\right|\left|e_2\right|cos\left(\stackrel{⟶}{e_1}\text{^}\stackrel{⟶}{e_2}\right)+y_1{y}_2{\left|e_2\right|}^2\mathrm{.}$

Таким образом, для вычисления скалярного произведения двух векторов в произвольном базисе, кроме их координат, надо знать модули базисных векторов и угол между ними. Очевидно, что если базис ортонормирован, то ${\left|e_1\right|}^2={\left|e_2\right|}^2=1\mathrm{,}$

$cos\left(\stackrel{⟶}{e_1}\text{^}\stackrel{⟶}{e_2}\right)=0$ и мы получим известную формулу для скалярного произведения в ортогональной декартовой системе координат.

Выбор той или иной системы координат ничем не ограничен и определяется в каждом конкретном случае только соображениями удобства (см., например, доказательство теоремы 11.10). Часто одно и то же множество приходится рассматривать в разных координатах. Одна и та же точка в различных системах имеет, очевидно, различные координаты. Множество точек (в частности, прямая, окружность) в разных системах координат задается различными уравнениями. Выясним, как преобразуются координаты точек плоскости при переходе от одной координатной системы к другой. Ограничимся случаем ортогональных систем.

Пусть на плоскости заданы две прямоугольные системы координат: $\left(O\mathrm{,}\stackrel{⟶}{i}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{j}\right)$ и $\left(O\mathrm{,}\stackrel{⟶}{i^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{j^{\mathrm{\prime }}}\right)$ (см. рис. 11.3.2).

Рис. 11.3.2.

Первую систему с началом в точке O и базисными векторами $\stackrel{⟶}{i}$ и $\stackrel{⟶}{j}$ назовем старой, вторую, с началом в точке O' и базисными векторами $\stackrel{⟶}{i^{\mathrm{\prime }}}$ и $\stackrel{⟶}{j^{\mathrm{\prime }}}\mathrm{,}$ – новой. Положение новой системы относительно старой будем считать известным: пусть точка O' в старой системе имеет координаты $\left(a\mathrm{;}b\right)\mathrm{,}$ а вектор $\stackrel{⟶}{i^{\mathrm{\prime }}}$ образует с вектором $\stackrel{⟶}{i}$ угол α, который отсчитывается в направлении против движения часовой стрелки от направления, задаваемого вектором $\stackrel{⟶}{i}\mathrm{.}$

Рассмотрим произвольную точку M. Обозначим ее координаты в старой системе через (x, y), в новой – через (x', y'). Установим связь между старыми и новыми координатами точки M. Из рис. 11.3.2 по правилу треугольника имеем

$\stackrel{⟶}{OM}=\stackrel{⟶}{O\mathrm{O\text{'}}}+\stackrel{⟶}{\mathrm{O\text{'}}M}\mathrm{.}$

Разложим векторы $\stackrel{⟶}{OM}$ и $\stackrel{⟶}{O\mathrm{O\text{'}}}$ по базису $\stackrel{⟶}{i}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{j}\mathrm{,}$ а вектор $\stackrel{⟶}{\mathrm{O\text{'}}M}$ – по базису $\stackrel{⟶}{\mathrm{i\text{'}}}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{\mathrm{j\text{'}}}\mathrm{:}$

$\stackrel{⟶}{OM}=x\stackrel{⟶}{i}+y\stackrel{⟶}{j}\mathrm{;}$

$\stackrel{⟶}{O\mathrm{O\text{'}}}=a\stackrel{⟶}{i}+b\stackrel{⟶}{j}\mathrm{;}$

$\stackrel{⟶}{\mathrm{O\text{'}}M}=\mathrm{x\text{'}}\stackrel{⟶}{\mathrm{i\text{'}}}+\mathrm{y\text{'}}\stackrel{⟶}{\mathrm{j\text{'}}}\mathrm{.}$

Равенство перепишется в виде:

$x\stackrel{⟶}{i}+y\stackrel{⟶}{j}=\left(a\stackrel{⟶}{i}+b\stackrel{⟶}{j}\right)+\left(\mathrm{x\text{'}}\stackrel{⟶}{\mathrm{i\text{'}}}+\mathrm{y\text{'}}\stackrel{⟶}{\mathrm{j\text{'}}}\right)\mathrm{.}$

Новые базисные векторы $\stackrel{⟶}{\mathrm{i\text{'}}}$ и $\stackrel{⟶}{\mathrm{j\text{'}}}$ можно разложить по старым базисным векторам $\stackrel{⟶}{i}\mathrm{,}\stackrel{⟶}{j}$ следующим образом:

$\begin{array}{l}\stackrel{⟶}{\mathrm{i\text{'}}}=cos\alpha \stackrel{⟶}{i}+sin\alpha \stackrel{⟶}{j}\mathrm{,}\\ \stackrel{⟶}{\mathrm{j\text{'}}}=cos\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)\stackrel{⟶}{i}+sin\left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)\stackrel{⟶}{j}=\mathrm{-}\sin \alpha \stackrel{⟶}{i}+cos\alpha \stackrel{⟶}{j}\mathrm{.}\end{array}$

Подставив найденные выражения для $\stackrel{⟶}{\mathrm{i\text{'}}}$ и $\stackrel{⟶}{\mathrm{j\text{'}}}$ в формулу, получим векторное равенство

$x\stackrel{⟶}{i}+y\stackrel{⟶}{j}=a\stackrel{⟶}{i}+b\stackrel{⟶}{j}+\mathrm{x\text{'}}\left(cos\alpha \stackrel{⟶}{i}+sin\alpha \stackrel{⟶}{j}\right)+\mathrm{y\text{'}}\left(\mathrm{-}\sin \alpha \stackrel{⟶}{i}+cos\alpha \stackrel{⟶}{j}\right)\mathrm{,}$

равносильное двум числовым равенствам:

$\{\begin{array}{c}x=a+\mathrm{x\text{'}}cos\alpha -\mathrm{y\text{'}}sin\alpha \mathrm{,}\\ y=b+\mathrm{x\text{'}}sin\alpha +\mathrm{y\text{'}}cos\alpha \mathrm{.}\end{array}$

Эти формулы дают искомое выражение для старых координат через новые координаты x' и y'. Для того чтобы найти выражение для новых координат через старые, достаточно решить систему уравнений относительно неизвестных x' и y'.

Если меняется только начало координат, а направления осей остаются прежними, то, полагая в формулах α = 0, получаем

$\{\begin{array}{c}x=a+\mathrm{x\text{'}}\mathrm{,}\\ y=b+\mathrm{y\text{'}}\mathrm{.}\end{array}\mathrm{;}$

Эти формулы кратко называют формулами переноса.

Если начало координат остается прежним, а оси поворачиваются на угол α, то, полагая в формулах a = b = 0, получим

$\{\begin{array}{c}x=\mathrm{x\text{'}}cos\alpha -\mathrm{y\text{'}}sin\alpha \\ y=\mathrm{x\text{'}}sin\alpha +\mathrm{y\text{'}}cos\alpha \end{array}\mathrm{.}$

Эти формулы называются формулами поворота.