Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки Отрезки , и пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:
Необходимость. Пусть отрезки и пересекаются в одной точке O. Проведем через вершину B треугольника прямую a∥AC (рис. 14.1.1). Пусть прямые и пересекают прямую a в точках M и N соответственно. Тогда из подобия треугольников и по двум углам ( как накрест лежащие и как вертикальные) имеем:
Аналогично из подобия треугольников и по двум углам ( и – как пары накрест лежащих):
Наконец, из подобия треугольников OAC и OMN по двум углам ( и ) получаем
Перемножив соответственно правые и левые части выписанных равенств, получим необходимое равенство.
Достаточность. Пусть выполнено равенство. Покажем, что отрезки и проходят через одну точку.
Пусть O – точка пересечения отрезков
и а C' – точка пересечения отрезка AB с лучом CO. Тогда из только что доказанного следует, что
Сравнивая с условием теоремы, получим Следовательно, точки C' и совпадают.

Наряду с приведенной теоремой в приложениях бывает необходимо использовать обобщение этой теоремы. Прежде чем дать его формулировку, сделаем предварительно необходимые соглашения. На прямой AB возьмем произвольную точку C, отличную от точек A и B. Тогда векторы и коллинеарны. Так как то Отсюда, если точка C лежит на отрезке AB, то и если же C лежит вне отрезка AB, то и Будем в дальнейшем понимать отношение отрезков AC и CB, лежащих на одной прямой «со знаком», в описанном выше смысле.

Для случая параллельных прямых (слева на рисунке 14.1.2) из теоремы Фалеса имеем соотношение
Перемножая левые и правые части равенств, получаем искомое равенство.
Обратно, пусть выполнено необходимое условие и при этом
Тогда, проведя через вершину B прямую
найдем точку B' ее пересечения с прямой AC. Как и в случае доказательства первой теоремы, получим
Приведем некоторые следствия из теоремы Чевы.
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
Действительно из свойства биссектрис можно записать следующие равенства:
Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим условие теоремы Чевы.
Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного в него треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергона. Из свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности имеем: AB1 = AC1; BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Отсюда следует равенство из теоремы Чевы и доказательство следствия 14.3.
Рассмотрим 2 случая.
- Пусть треугольник ABC остроугольный (рис. 14.1.3, a). Имеем
Отсюда следует
Рис. 14.1.3. - Пусть треугольник ABC тупоугольный (рис. 14.1.3, b). Применим в этом случае обобщенную теорему Чевы. Тогда аналогично случаю 1 можно записать такие же соотношения с учетом знака. Имеем Отсюда следует доказательство.
С благодарностью к источнику: Открытая Математика. Планиметрия.