§14.1. Теорема Чевы

Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки A 1 ∈BC,   B 1 ∈AC,   C 1 ∈AB.  Отрезки A A 1 ,  B B 1  и C C 1  пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

A B 1 B 1 C ċ C A 1 A 1 B ċ B C 1 C 1 A =1.

Необходимость. Пусть отрезки A A 1 ,   B B 1   и C C 1   пересекаются в одной точке O. Проведем через вершину B треугольника прямую a∥AC (рис. 14.1.1). Пусть прямые A A 1 и B B 1  пересекают прямую a в точках M и N соответственно. Тогда из подобия треугольников A A 1 C и M A 1 B 1     по двум углам ( ∠ A 1 CA  =  ∠ A 1 BM   как накрест лежащие и ∠B A 1 M  =  ∠A A 1 C  как вертикальные) имеем:

C A 1 A 1 B   =   AC MB .

Аналогично из подобия треугольников A C 1 C и B C 1 N  по двум углам ( ∠ C 1 CA  =   C 1 NB и ∠ C 1 AC  =  ∠ C 1 BN  – как пары накрест лежащих):

B C 1 C 1 A   =   BN AC .

Наконец, из подобия треугольников OAC и OMN по двум углам ( ∠OCA  = ∠ONP и ∠OAC  =  ∠OMN ) получаем A B 1 B 1 C   = MB BN .

Перемножив соответственно правые и левые части выписанных равенств, получим необходимое равенство.

Достаточность. Пусть выполнено равенство. Покажем, что отрезки A A 1 ,   B B 1 и C C 1  проходят через одну точку.

Пусть O – точка пересечения отрезков A A 1 и C C 1 , а C' – точка пересечения отрезка AB с лучом CO. Тогда из только что доказанного следует, что A B 1 B 1   C ċ C A 1 A 1   B ċ B C   ' C ' A =1.

Сравнивая с условием теоремы, получим B C   ' C ' A = B C 1 C 1   A . Следовательно, точки C' и C 1 совпадают.

Рис. 14.1.1. Рис. 14.1.1.

Наряду с приведенной теоремой в приложениях бывает необходимо использовать обобщение этой теоремы. Прежде чем дать его формулировку, сделаем предварительно необходимые соглашения. На прямой AB возьмем произвольную точку C, отличную от точек A и B. Тогда векторы AC ⟶ и CB ⟶ коллинеарны. Так как CB ⟶ ≠ 0 ⟶ , то AC ⟶   =  λ CB ⟶ . Отсюда, если точка C лежит на отрезке AB, то AC ⟶   ↑ ↑    CB ⟶ и λ  =   AC CB >0, если же C лежит вне отрезка AB, то AC ⟶   ↑ ↓    CB ⟶ и λ  =  - AC CB <0. Будем в дальнейшем понимать отношение AC CB отрезков AC и CB, лежащих на одной прямой «со знаком», в описанном выше смысле.

Пусть прямые a, b, c проходят через вершины A, B, C треугольника ABC и пересекают прямые BC, CA, AB в точках A 1 ,  B 1 ,  C 1 соответственно (рис. 14.1.2). Тогда прямые a, b, c пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство A B 1 B 1 C ċ C A 1 A 1 B ċ B C 1 C 1 A =1.
Рис. 14.1.2. Рис. 14.1.2.

Для случая параллельных прямых (слева на рисунке 14.1.2) из теоремы Фалеса имеем соотношение A B 1 B 1 C   =   A 1 B BC  ,   B C 1 C A   =   B C C A 1  ,   C A 1 A 1 B   =   C A 1 A 1 B .

Перемножая левые и правые части равенств, получаем искомое равенство.

Обратно, пусть выполнено необходимое условие и при этом A A 1   ∥  C C 1 . Тогда, проведя через вершину B прямую b || A A 1 , найдем точку B' ее пересечения с прямой AC. Как и в случае доказательства первой теоремы, получим AB' B'C = A B 1 B 1 C =λ . Если λ > 0, то B' и B1 делят отрезок AC в одном отношении и, следовательно, совпадают. Если λ < 0, то точки B' и B1 лежат вне отрезка AC по одну сторону от точки A или С в зависимости от того, лежат ли точки A1 на отрезке BC или точка C1 на отрезке AB и снова следует из равенства с необходимостью совпадение точек B1 и B'. Для рассмотрения общего случая снова проведем через вершину B прямую a параллельную прямой AC (справа на рисунке 14.1.2). Треугольник AC1C подобен треугольнику BC1M. Отсюда следует B C 1 A C 1 = BM  AC  ; из подобия треугольников AA1C и NA1B получаем A 1 C A 1 B = AC  NB  . Наконец, из гомотетичности относительно центра O треугольников ONM и OAC имеем A B 1 B 1 C = NB  BM  . Перемножая соответственно левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. Доказательство достаточности аналогично случаю основной теоремы.

Приведем некоторые следствия из теоремы Чевы.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке. В этом случае A B 1 B 1 C = C A 1 A 1 B = B C 1 C 1 A =1.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Действительно из свойства биссектрис можно записать следующие равенства:

A B 1 B 1 C = AB  BC  ; C A 1 A 1 B = CA  AB  ; B C 1 C 1 A = BC  CA  .

Перемножая соответственно левые и правые части этих равенств, получим условие теоремы Чевы.

Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного в него треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергона. Из свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности имеем: AB1 = AC1; BA1 = BC1 и CA1 = CB1. Отсюда следует равенство из теоремы Чевы и доказательство следствия 14.3.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Рассмотрим 2 случая.

  1. Пусть треугольник ABC остроугольный (рис. 14.1.3, a). Имеем A C 1 = AC cos ∠ A ;   B C 1 = BC cos ∠ B ;   B A 1 = AB cos ∠ B ;   C A 1 = AC cos ∠ C ;   C B 1 = BC cos ∠ C ,   A B 1 = AB cos ∠ A . Отсюда следует ABcos ∠ A BCcos ∠ C ċ ACcos ∠ C ABcos ∠ B ċ BCcos ∠ B ACcos ∠ A ≡1. Следствие доказано.
    Рис. 14.1.3. Рис. 14.1.3.
  2. Пусть треугольник ABC тупоугольный (рис. 14.1.3, b). Применим в этом случае обобщенную теорему Чевы. Тогда аналогично случаю 1 можно записать такие же соотношения с учетом знака. Имеем A C 1 = AC cos ∠ A ;   B C 1 = BC cos ∠ B ;   B A 1 = AB cos ∠ B ;   C A 1 = AC cos ∠ C ;   C B 1 = BC cos ∠ C ,   A B 1 = AB cos ∠ A . Отсюда следует доказательство.
С благодарностью к источнику: Открытая Математика. Планиметрия.