Под косинусом тупого угла α (90° < α < 180°) будем понимать значение косинуса смежного с ним угла, взятого со знаком минус. Косинус прямого угла будем считать
Под синусом тупого угла будем понимать синус смежного угла. Синус прямого угла будем считать
Из этих определений следует, что для любых углов, таких, что 0 < α < 180° справедливы равенства
Действительно, если α = 90°, то имеем верные равенства.
Если α – острый угол, то 180° – α = β, 90° < α < 180° – тупой угол. Тогда по определению
Отсюда получаем cos α = cos (180° – α).
Наконец, если α (90° < α < 180°) – тупой угол, то равенства видны по определению.
Теорема косинусов. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла
Пусть угол α – между двумя сторонами AB и AC треугольника
Но с другой стороны, так как cos 90° = 0
Теорема верна.
На рис. 5.2.1 показаны три возможных случая, связанных с величиной угла α между известными сторонами. В первых двух случаях угол
Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC). Рассмотрим два возможных случая.
-
Пусть угол α – острый. Тогда, либо точка D лежит между
точками A и C , либо точка C – междуточками A и D. Поэтому справедливы следующие равенства:
Из первых двух равенств, исключая BD2, получим Подставляя из последнего равенства выражение для CD, имеем: С учётом третьего равенства окончательно получаем требуемое равенство: -
Пусть угол α – тупой. Тогда точка A лежит между
точками D и C. Поэтому справедливы равенства: Имеем:BC2 = AB2 + CD2 – AD2 . С учётом последнего равенства
Так как угол α – тупой , то cos α = –cos (180° – α) и, с учётом этого, окончательно получаем
Теорема доказана.
Теорема синусов. Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, т. е.
Пусть ABC – треугольник со сторонами a, b, c и соответственно противолежащими им
Опустим из вершины B высоту BD на прямую (AC).
- Пусть все углы Δ ABC острые. Тогда
BD = a sin γ из прямоугольного треугольника BCD. Аналогично из треугольникаABD BD = c sin α. Приравнивая правые части,получаем a sin γ = c sin α или
Аналогично, если опустить высоту CE из вершины C на прямую (AB), получимCE = b sin α из Δ ACE ,CE = a sin β из Δ BCE. И, сравнивая эти равенства, имеем
Окончательно из полученных равенств имеем -
Пусть один из углов (например, γ) тупой. Тогда BD = a sin (180° – γ) = a sin γ из Δ BCD,
BD = c sin α из Δ ABD. Отсюдаa sin γ = c sin α или
Далее, опуская высоту CE из вершины C на прямую (AB) и рассуждая аналогично пункту 1, получим и, окончательно,
Теорема доказана.
Пусть даны два Δ ABC и A1B1C1 и углы при
Действительно из Δ ABC по теореме синусов имеем
Аналогично из Δ A1B1C1 получим
Деля входящие во второе равенство выражения на соответствующие выражения из первого равенства и учитывая, что синусы равных углов равны получим
Пусть α и β – угловые величины двух острых углов, причём α < β. Тогда
Отложим от луча AB в одну полуплоскость углы BAC и BAD так, что
Точки B, C, D лежат на прямой a, которая перпендикулярна лучу AB. Так как то луч AC лежит между сторонами угла BAD, следовательно, точка C лежит между
По определению
Отсюда
Заметим, что, если α – острый угол, то
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, против большей стороны лежит больший угол.
Если все углы треугольника – острые, то этот факт следует из результата леммы 5.1 и теоремы 5.4. Если же один из углов треугольника, например, для определенности
Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них
Пусть A, B, C – три данные точки. Если две точки из трёх или все три совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все три точки различны, но лежат на одной прямой, одна из них лежит между двумя другими без ограничения общности, например, B. Тогда
Пусть точки A, B и C не лежат на одной прямой. Докажем, что
Опустим перпендикуляр CD на прямую AB.
В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.
С благодарностью к источнику: Открытая Математика. Планиметрия.