Всякое число, кроме единицы, которое делится только на единицу и на само себя, называется простым.
Число, которое делится не только на единицу и само себя, но ещё и на другие числа, называется составным
Число \( 1 \) занимает особое положение.
Простые числа: \( 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 \) и т.д.
Составное число разлагается на простые множители единственным образом.
Пример:
\( 5600 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \),
или \( 5600 = 2^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \)
Признаки делимости
- На 10 делятся все те и только те числа,
которые оканчиваются нулями. - На 2 и 5 делятся все те и только те числа,
у которых последняя цифра выражает число, делящееся соответственно на 2 или на 5. - На 3 и 9 делятся все те и только те числа,
у которых сумма цифр делится соответственно на 3 или на 9. - На 4 и 25 делятся все те и только те числа,
которые оканчиваются двумя нулями
или у которых две последние цифры выражают число, делящееся соответственно на 4 или на 25. - На 8 и 125 делятся все те и только те числа,
которые оканчиваются тремя нулями,
а также у которых три последнии цифры выражают число, делящееся соответственно на 8 или на 125. - На 7, 11 и 13 делятся все те и только те числа,
у которых разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот),
делится соответственно на 7, на 11 или на 13. - На 6, 12, 18, 24 и т.д.
- на 6 делятся те числа, которые делятся на 2 и 3.
- на 12 делятся те числа, которые делятся на 3 и 4.
- на 18 делятся те числа, которые делятся на 2 и 9.
Общий признак делимости чисел
Для того, чтобы число \(N\) делилось на \(d\), необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений цифр этого числа на остатки получаемые от деления на \(d\) соответствующих степеней десяти, делилась на \(d\).
Если \( N = a_{n} \cdot 10^n + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} + ... + a_{1} \cdot 10 + a_{0} \) и
\( 10^n = d \cdot q_n + r_n; \)
\( 10^{n-1} = d \cdot q_{n-1} + r_{n-1}; \)
...
\( 10^2 = d \cdot q_2 + r_2; \)
\( 10 = d \cdot q_1 + r_1 \),
то \(N\) делится на \(d\) в том и только том случае, когда на \(d\) делится сумма:
\( M = a_n \cdot r_n + a_{n-1} \cdot r_{n-1} + ... + a_2 \cdot r_2 + a_1 \cdot r_1 + a_0 \) .
Из общего признака можно вывести рассмотренные выше частные признаки делимости и некоторые другие.
Пусть, например, \(d = 11\).
Тогда:
\( 10 = 11 \cdot 1 - 1; r_1 = - 1 \)
\( 10^2 = 11 \cdot 9 + 1; r_2 = + 1 \)
\( 10^3 = 11 \cdot 91 - 1; r_3 = - 1 \)
\( 10^4 = 11 \cdot 909 + 1; r_4 = + 1 \)
и т.д.
Следовательно, при \( d = 11 \)
\( M = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - ... \)
имеем такой признак:
на 11 делятся те и только те числа,
у которых разность между суммой цифр стоящих на чётных местах и суммой остальных цифр делится на 11.
НОД и НОК
НОД — наибольший общий делитель
НОК — наименьшее общее кратное
Делителем данного числа называется число, на которое данное число делится без остатка.
Правило, по которому можно легко определить количество всех делителей данного числа:
Надо увеличить на 1 показатель степени каждого сомножителя разложения данного числа и полученные числа перемножить.
Пример:
\( 5600 = 2^5 \cdot 5^2 \cdot 7 \);
\( (5 + 1) \cdot (2 + 1) \cdot (1 + 1) = 36 \) \( \Rightarrow \) увеличили показатели на \( 1 \) и перемножили.
Ответ: число \( 5600 \) имеет \( 36 \) делителей.
НОД — наибольшим общим делителем нескольких чисел называется наибольшее число, на которое все данные числа делятся без остатка.
Как найти НОД?
Пример 1:
Найти НОД чисел \( 210, 1260, 245 \)
Разложим эти числа на простые множетели:
\( 210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7; 1260 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7; 245 = 5 \cdot 7^2 \).
Т.о. НОД будет \( 5 \cdot 7 = 35 \)
НОК — наименьшим общим кратным нескольких чисел называетсясамое меньшее натуральное число, которое делится на каждое из данных чисел.
Как найти НОК?
Пример 1:
Найти НОК чисел \( 72 \) и \( 108 \),
Разложим данные числа на множетели:
\( 72 = 2^3 \cdot 3^2; 108 = 2^2 \cdot 3^3 \).
Множетели числа \( 108 \) (это удобнее, так как число \( 108 \) больше \( 72 \) ),
умножая на недостающие простые множетели числа \( 72 \), т.е. на \( 2 \), получим:
\( НОК (72, 108) = 2^3 \cdot 3^3 = 216 \).
Пример 2:
Известно, что \( НОК (a, b) = (a \cdot b) / НОД (a, b) \).
Найти НОК чисел 360 и 70.
Так как \( НОД (360, 70) = 10 \),
то \( НОК = 360 \cdot 70 / 10 = 2520 \).
Чтобы найти этим способом НОК трёх и более чисел,
сначала находят НОК каких-нибудь двух из них,
потом — НОК этого наименьшего общего кратного и какого-нибудь третьего данного числа и т. д.