Решением уравнения с двумя переменными называется пара чисел (значений переменных), обращающих это уравнение в верное равенство.
Пример
$$ x^2 + y^2 = 1. $$
Пары чисел (1; 0), (0; -1), (0,6; -0,8) и т.п. — решения уравнения.
Одно уравнение с двумя переменными может иметь несколько решений или не иметь их вовсе.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.
Например, графиком уравнения \(x^2+y^2=1\) является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Множеством решений уравнения являются пары координат всех точек окружности.
Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида \(ax+by=c\), где \( a, b, c \) — некоторые числа.
Рассмотрим множество решений линейного уравнения.
| $$ ax + by = c $$ | |
|---|---|
| \(b \neq 0\) | \(b = 0\) |
| \( \begin{cases} x - любое \\ y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b} \end{cases} \) | \(ax = c\) |
|
1) График прямой \( y = -\frac{a}{b}x + \frac{c}{b} \) |
1) \( \begin{cases} x = \frac{c}{a} \\ y - любое \end{cases} \)
График прямой \( x = \frac{c}{a} \) |
|
2) График прямой \( y = \frac{c}{b} \) |
2) $$ 0 \cdot x = 0 $$ \( \begin{cases} x - любое \\ y - любое \end{cases} \) График \( 0 \cdot x = 0 \) (вся плоскость) |
|
3) График прямой \( y = -\frac{a}{b}x \) |
3) $$ 0 \cdot x = с \;\; (нет \; решений) $$ График \( 0x = c \) (нет решений) |
Итак, графиком линейного уравнения с двумя неизвестными является прямая, если хотя бы один из коэффициентов при переменной (a или b) отличен от нуля.
Если \( a = b = c = 0 \), то графиком будет вся координатная плоскость.
Если \( a = b = 0 \) и \( c \neq 0 \), то уравнение решений не имеет.