Числовое неравенство — это математическое высказывание вида \( a \gt b, \;\; a \lt b \) (строгие неравенства),
или \( a \geq b, \;\; a \leq b \) (нестрогие неравенства).
Геометрический смысл понятий «больше» и «меньше» был объяснён в теме числовая прямая .
Аналитически числа сравниваются по следующему определению:
Число a больше числа b, если разность \( a - b \) положительна;
число a меньше числа b, если разность \( a - b \) отрицательна, т.е.
$$ a - b \;\;
\begin{cases}
\gt0, \; если \; a \gt b \\
=0, \; если \; a = b \\
\lt 0, \; если \; a \lt b
\end{cases} $$
Свойства числовых неравенств
Если \( a \gt b \), то \( b \lt a \):
Если \(a \gt b\), то \(a - b \gt 0\), значит \(b - a \lt 0\), т.е. \(b \lt a\).
Если \(a \lt b\), то \(a - b \lt 0\), значит \(b - a \gt 0\), т.е. \(b \gt a\).Если \(a \gt b\), \(b \gt c\), то \(a \gt c\):
Рассмотрим разность \( a - c \) и представим её следущим образом:
\(a - c = (a - b) + (b - c) \gt 0\), т.к. разность каждой из скобок положительна.
Т.о. \(a - c \gt 0\) и \(a \gt c\).Если \(a \gt b\), и c — любое число, то \(a + c \gt b + c\),
т.е. если к обеим частям верного нераравенства прибавить одно и то же число, то получится верное неравенство.Т.к. \(a \gt b\), то \(a - b \gt 0\). Представим \( a - b \) следующим образом:
\(a - b = (a + c) - (b + c)\), т.е. разность \( (a + c) - (b + c) \) является положительной,
следовательно, \((a + c) \gt (b + c)\).Если \(a \gt b\), и c — положительное число, то \(ac \gt bc\).
Другими словами: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство.
Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и при этом сменить знак неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.Замечание: т.к. разделить число — это все равно, что умножить на число ему обратное, то эти свойства имеют место и при делении на с.
Т.к. \(a \gt b\), значит \(a - b \gt 0\).
Т.к. \(c \gt 0\), то разность \((a - b)c = ac - bc\) положительна,
что означает, что \(ac - bc \gt 0\), т.е. \(ac \gt bc\).
Если же \(c \lt 0\), то разность \((a - b)c = ac - bc\) отрицательна, т.е. \(ac \lt bc\).Если a и b — положительные числа и \(a \gt b\), то \(\frac{1}{a} \lt \frac{1}{b}\).
Разделим обе части неравенства \(a \gt b\) на \( ab \) и получим:
\(\frac{a}{ab} \gt \frac{b}{ab}\) откуда после сокращения получаем:
\(\frac{1}{b} \gt \frac{1}{a}\) или \(\frac{1}{a} \lt \frac{1}{b}\).Если \(a \gt b\) и \(c \gt k\), то \(a + c \gt b + k\) .
Т.е. неравенства одного знака (одинакового смысла) можно почленно складывать, получая при этом верное неравенство.Рассмотрим разность \( (a + c) - (b + k) \) и преобразуем её следующим образом:
\((a + c) - (b + k) = (a - b) + (c - k)\);
т.к. по условию \(a \gt b\) и \(c \gt k\), то сумма \( (a - b) + (c - k) \) положительна,
а значит, и \( (a + c) - (b + k) \) положительна, что означает \(a + c \gt b + k\).Если \(a \gt b\) и \(c \gt k\), где \( a, b, c, k \) — положительные числа, то \(ac \gt bk\) .
Т.е. верные неравенства одинакового смысла с положительными членами можно почленно перемножить, получая при этом верное неравенство.Преобразуем следующим образом выражение:
\(ac - bk = ac - bc + bc - bk = (a - b)c + (c - k)b\) — положительно,
т.к. все сомножители последней суммы положительны.
Значит и \(ac - bk \gt 0\), что означает \(ac \gt bk\).Следствие: если \(a \gt b\) и n — натуральное число, то \(a^n \gt b^n\).
Т.е. если обе части верного неравенства с положительными членами возвести в одну и ту же степень, то получится верное неравенство.