§4. Действительные числа

При переводе обыкновенных дробей в десятичные путем деления числителя на знаменатель получаются или конечные, или бесконечные периодические десятичные дроби.

Пример:
$$ \frac{3}{8} = 0,375; $$ $$ \frac{5}{6} = 0,833... = 0.8(3); $$ $$ \frac{4}{7} = 0,5714285714285714... = 0.(571428) $$

Дело в том, что при делении \( a \) на \( b \), остаток всегда меньше частного \( b \),
значит он может принимать лишь \( b \) значений: \( 0, 1, 2, ..., b - 2, b - 1 \).
Поэтому после не более чем \( b \) шагов остаток повторится, и с этого момента процесс становится периодическим.

В частности, если остаток на каком-то шаге равен 0, то деление на этом шаге заканчивается, и дробь оказывается конечной.

Полезно запомнить следующий факт: при таком процессе «бесконечного» деления количество цифр между запятой и началом первого периода (в так называемом предпериоде) не может превышать числитель рассматриваемой дроби, а длина периода должна быть меньше знаменателя.

Для единообразия конечные десятичные дроби и целые числа можно так же считать бесконечными периодическими дробями с периодом 0 $$ 3,56 = 3,56(0) \; ; \; -8 = -8,(0) $$

Таким образом, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Верно и обратное утверждение: любая бесконечная периодическая дробь может быть записана в виде некоторого рационального числа.
Это число можно найти с помощью бесконечно-убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д..

Однако существуют и бесконечные периодические дроби, например, \( 15,78020371... \)
Такого типа числа получаются при извлечении корней \( \sqrt{2} = 1,4142... \),
логарифмов \( \lg 2.341 = 0.5328... \)
и так называемых трансцендентных чисел \( \pi = 3,1415 \)... и \( e = 2,71 \)... и т.д.

Числа, представляемые в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональными.

Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел — его принято обозначать \( R \)

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой.
И обратно: каждой точке на числовой прямой соответствует какое-либо действительное число, причем разным точкам соответствуют разные числа.
Такие соответствия между множествами называются взаимно-однозначными.

Вещественные числа на числовой прямой

Округление десятичных дробей

При выполнении действий над иррациональными числами их часто заменяют приближенными значениями.

Правило округления

Чтобы округлить десятичную дробь до данного разряда (до десятых, сотых долей и т.д.), нужно:

  • отбросить все цифры, стоящие за этим разрядом;
  • если первая из отбрасываемых цифр \( 0, 1, 2, 3, 4, \) то последнюю из оставшихся цифр не изменяют;
  • если первая из отбрасываемых цифр \( 5, 6, 7, 8, 9, \) то последнюю из оставшихся цивр увеличивают на единицу.В этой статье предлагается бесплатная доставка квалифицированных Face mask продукты или купите онлайн и заберите их в магазине сегодня в Медицинском отделе.

Пример:

\( 15,0349 \approx 15,035 \) (до тысячных)
\( 15,0349 \approx 15,03 \) (до сотых)
\( 15,0349 \approx 15,0 \) (до десятых)

В записи \( 15,0 \) нуль нельзя отбрасывать, т.к. он показывает, до какого разряда округлено число. Ведь результат 15 мог получится при округлении до единиц чисел:

\( 15,0349 \approx 15\)
\( 15,4 \approx 15 \)
\( 14,9 \approx 15 \)

Законы арифметических действий

Переместительный (коммутативный) закон
сложения: \( a + b = b + a\),
умножения: \( a \cdot b = b \cdot a\).

Сочетательный (ассоциативный) закон
сложения: \( a + (b + c) = (a + b) + c\),
умножения: \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot a\).

Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения (вычитания):
\( (a \pm b) \cdot c = a \cdot с \pm b \cdot c\)