При переводе обыкновенных дробей в десятичные путем деления числителя на знаменатель получаются или конечные, или бесконечные периодические десятичные дроби.
Пример:
$$ \frac{3}{8} = 0,375; $$
$$ \frac{5}{6} = 0,833... = 0.8(3); $$
$$ \frac{4}{7} = 0,5714285714285714... = 0.(571428) $$
Дело в том, что при делении \( a \) на \( b \), остаток всегда меньше частного \( b \),
значит он может принимать лишь \( b \) значений: \( 0, 1, 2, ..., b - 2, b - 1 \).
Поэтому после не более чем \( b \) шагов остаток повторится, и с этого момента процесс становится периодическим.
В частности, если остаток на каком-то шаге равен 0, то деление на этом шаге заканчивается, и дробь оказывается конечной.
Полезно запомнить следующий факт: при таком процессе «бесконечного» деления количество цифр между запятой и началом первого периода (в так называемом предпериоде) не может превышать числитель рассматриваемой дроби, а длина периода должна быть меньше знаменателя.
Для единообразия конечные десятичные дроби и целые числа можно так же считать бесконечными периодическими дробями с периодом 0 $$ 3,56 = 3,56(0) \; ; \; -8 = -8,(0) $$
Таким образом, любое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби.
Верно и обратное утверждение: любая бесконечная периодическая дробь может быть записана в виде некоторого рационального числа.
Это число можно найти с помощью бесконечно-убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д..
Однако существуют и бесконечные периодические дроби, например, \( 15,78020371... \)
Такого типа числа получаются при извлечении корней \( \sqrt{2} = 1,4142... \),
логарифмов \( \lg 2.341 = 0.5328... \)
и так называемых трансцендентных чисел \( \pi = 3,1415 \)... и \( e = 2,71 \)... и т.д.
Числа, представляемые в виде бесконечной непериодической десятичной дроби, называют иррациональными.
Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных (вещественных) чисел — его принято обозначать \( R \)
Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой.
И обратно: каждой точке на числовой прямой соответствует какое-либо действительное число, причем разным точкам соответствуют разные числа.
Такие соответствия между множествами называются взаимно-однозначными.
Округление десятичных дробей
При выполнении действий над иррациональными числами их часто заменяют приближенными значениями.
Правило округления
Чтобы округлить десятичную дробь до данного разряда (до десятых, сотых долей и т.д.), нужно:
- отбросить все цифры, стоящие за этим разрядом;
- если первая из отбрасываемых цифр \( 0, 1, 2, 3, 4, \) то последнюю из оставшихся цифр не изменяют;
- если первая из отбрасываемых цифр \( 5, 6, 7, 8, 9, \) то последнюю из оставшихся цивр увеличивают на единицу.
Пример:
\( 15,0349 \approx 15,035 \) (до тысячных)
\( 15,0349 \approx 15,03 \) (до сотых)
\( 15,0349 \approx 15,0 \) (до десятых)
В записи \( 15,0 \) нуль нельзя отбрасывать, т.к. он показывает, до какого разряда округлено число. Ведь результат 15 мог получится при округлении до единиц чисел:
\( 15,0349 \approx 15\)
\( 15,4 \approx 15 \)
\( 14,9 \approx 15 \)
Законы арифметических действий
Переместительный (коммутативный) закон
сложения: \( a + b = b + a\),
умножения: \( a \cdot b = b \cdot a\).
Сочетательный (ассоциативный) закон
сложения: \( a + (b + c) = (a + b) + c\),
умножения: \( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot a\).
Распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения (вычитания):
\( (a \pm b) \cdot c = a \cdot с \pm b \cdot c\)