Рациональным называется выражение, записанное в виде дроби, числителем и знаменателем которой являются многочлены.
В частности, многочлен может быть и нулевой степени, т.е. числом.
Если числом является знаменатель, то такое выражение представляет собой просто многочлен, или целое выражение.
Примеры:
$$ \frac{3x^2 - 7}{25x^7 + 2x - 1}; \;\;\; \frac{1}{3x^2 + x - 4}; \;\;\; 38; $$
$$ \frac{2x^3 - 3x^2 + 4x - 1}{2} = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x - \frac{1}{2}. $$
Уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями, называется рациональным уравнением.
В частности, если обе части — многочлены, то такое уравнение называется целым,
в противном случае — дробным.
Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, нужно все его члены перенести в одну сторону и привести к общему знаменателю.
Получим уравнение вида \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \).
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Т.е. решение этого уравнения сводится к решению системы:
$$ \begin{cases}
A(x) = 0 \\
B(x) \neq 0
\end{cases} $$
Областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения называется множество значений переменной,
при которых левая часть уравнения \( \frac{A(x)}{B(x)} = 0 \) имеет смысл, т.е. \( B(x) \neq 0 \).
Найдя корни уравнения \( А(x) = 0 \), необходимо убедиться, что они поподают в область допустимых значений, т.е. не обращают знаменатель в нуль.
Те корни уравнения \( А(x) = 0 \), которые не попадают в ОДЗ, называются посторонними корнями и не являются корнями исходного уравнения.
Пример:
$$ \frac{3y - 2}{y} = \frac{3y + 4}{y^2 - 2y} + \frac{1}{y - 2} $$
$$ \frac{(3y - 2)(y - 2)}{y(y - 2)} = \frac{3y + 4}{y(y - 2)} + \frac{y}{y(y - 2)} $$
$$ \frac{3y^2-8y+4-3y-4-y}{y(y-2)}=0; $$
$$ \frac{3y^2 - 12y}{y(y - 2)} = 0; $$
$$ 3y^2 - 12y = 0, \;\; \Rightarrow y_1 = 0, \;\; y_2 = 4 $$
ОДЗ: \( y(y - 2) \neq 0) \), следовательно \( y \neq 0 \;\; и \;\; y \neq 2 \).
Т.о. корень \( y_1 = 0 \) — посторонний.
Ответ: \(y = 4\).