Квадратным уравнением называется уравнение вида
$$ ax^2 + bx + c = 0 $$
Числа \( a, b, c \) — коэффициенты квадратного уравнения:
\( a \) — старший (или первый коэффициент),
\( b \) — второй,
\( с \) — свободный член.
Выведем формулу для корней квадратного уравнения (т.е. \( a \neq 0 \) ) $$ ax^2 + bx + c = 0 $$
Разделим все его члены в обеих частях уравнения на \( a \neq 0 \): $$ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 $$
Выделим в левой части полный квадрат: $$ x^2 + 2x \cdot \frac{b}{2a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0; $$ $$ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}; $$ $$ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2}; $$ $$ x + \frac{b}{2a} = \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}; $$ $$ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}; $$ $$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \;\; (1) $$
Выражение \( b^2 - 4ac \) называется дискриминантом (D).
- Если \( D \gt 0 \), то уравнение имеет два вещественных различных корня, вычисляемых по формуле (1).
- Если \( D = 0 \), то уравнение имеет два равных (кратных) корня \( x = -\frac{b}{2a} \).
- Если \( D \lt 0 \), то уравнение не имеет вещественных корней.
В этом случае квадратное уравнение так же имеет 2 корня, но эти числа не вещественные, а так называемые комплексные числа.